是人类思维最奇特的产物。二十多年前，
Mandelbrot提出fractal这一观念，阐明
它是自然界最普遍形体的时候，人们是
将信将疑。
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分形天线-Fractal Antenna
令人意想不到的是，分形居然可以直接应用到无 线电收发天线的上，现在许多学者已经证明， 有效的宽带天线，其形状必须具自相似性。这 类天线具有非常优良的宽带效应，所占空间最 为紧凑。 事实上，Motorola公司的手机已经用上 Sierpinski Gasket内藏天线，它不但效率高 25%，而且形状规整。
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Compare
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磁偶极子天线
• 磁偶极子天线或者称为小环天线，可以用对偶原理从 电偶极子的解得到。 • 磁偶极矩等于环电流乘以环面积SI（ S<λ2 /100）， • 其辐射电阻反比于波长的四次方Rr=31200(S/λ2)2，当环 半径为0.1λ/π，线半径为 0.001 λ ，则Rr=0.316Ώ。 • 输入电抗为ωμb（ln(8b/a)-1.75) 在尺寸相当情况下，磁偶极子天线辐射电阻比电偶极子 的辐射电阻更小，更难以与馈线匹配。
一个30cm（频率20MHz，波长15m，天线为0.02波长） 的V-锥天线，辐射电阻为1.2Ω ，现在天线长为 1.26m，辐射电阻大于21 Ω ，直接用50 Ω 馈电， 其驻波小于2.35
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Koch单级子输入阻抗
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从分子生物学到生理学、生物形态学， 从材料科学到地球科学、地理科学， 从经济学到语言学、 社会学， 从数学（自然科学）到艺术（人文科学）等等，
已经渗透到工程和科学的各个领域。
分形电动力学（分形天线工程)
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分形集
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分形集
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Fractal microቤተ መጻሕፍቲ ባይዱtrip antenna
Return loss S11 of fractal volume microstrip antenna comprising Sierpinski carpet gaskets D, E and F printed on substrate with relative permitivity2.2( see inside sketch)
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Small Koch loop
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Compare with UESTC same radius the
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Raise the input resistance
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Minkowski island
The iterative-generation procedure for a Minkowski island fractal. Each straight segment of the geometry is replaced with the generator. The initiator, the square, is shown, along with the first three generating iterations, or pre-fractals. 2013-5-14 UESTC 45
– 混沌(chaos)、 – 分形(fractal) – 孤子(soliton)
• 是非线性科学中最重要的三个概念。
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分形几何学
• 分形几何学
– 是B.B.Mandelbrot为解决电话电路噪声而创
立的非欧几里德几何学, 1973年在法兰西学
院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设
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Small antenna kh<1
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Quality factor
Normalized frequency
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Tree dipole
Quasi-2D fractal
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Quasi-3D fractal
Sierpinski三角形
self-similarity
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自相似性：
局部和整体相似。
Sierpinski gasket
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Fractal art
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Fractal landscape
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Miniature the loop antenna
First and second Minkowski square loop in side in square loop. All three loop antennas are resonant at the same frequency. 2013-5-14 UESTC
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Fractal stacked monopole
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Improve antenna match
a b
c
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Raise antenna gain
a
b
c
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Current distribution on the monopoles
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Fractal plant
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分形与分维
• 在欧氏空间中，人们习惯整数的维数。 分形理论把维数视为分数，分维是物理
学家在研究混沌吸引子等理论时引入的
概念，它突破了一般拓扑集维数为整数 的界限。
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分形与分维
• 一根直线，如果用0维的点来度量它，其结果为无穷大， 因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来度量
分形的特征
• 分形理论有很强的解释能力，能说明许 多大自然形态的发生和自组织过程;
– 分形自相似原理 – 分形迭代生成原理
• 推动人们更好地认识世界。
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分形天线-Fractal Antenna
当Koch Curve和Sierpinski Gasket这些高
度“病态”的几何形体出现时，被认为
而用平面去度量，其结果是0，只有找一个与 Koch曲线维数同量级的尺子去度量它才会得到 有限的维数，而这个维数显然大于1、小于2， 那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。
Koch曲线的维数是1.2618……。
• 分形曲线的维数是1<D<2，分形表面的维数是
2<D<3。
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Compare fractal dipole and meander dipole
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Current
The resonant frequency f the D1 meander line dipole was calculated to be 154.9MHz, which is approximately 42% lower than that of the Hilbert curve fractal dipole.
天线原理与设计
分形天线工程
阮成礼 电子科技大学
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天线设计的总体目标
• 结构简洁紧凑
• 外形轮廓小巧
• 与系统结构共形
• 超宽带或者多频带
• 高增益，低副瓣，低尾瓣等
分形天线工程是解决方案之一!
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分形几何学
• 非线性科学(nonlinear science)
Minkowski loops
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Radiation resistance
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Fractal loop antenna and bent-wire antenna
Bent-wire antennas
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Compare the characters
想。分形几何学是一门以非规则几何形态为
研究对象的几何学。
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自然观
• 分形理论已经对方法论和自然观产生强 烈影响，从分形的观点看世界，
– 这个世界是以分形的方式存在， – 以分形的方式演化。
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交叉性学科
分形理论是一门交叉性学科，
从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，
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分形手机天线
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Wireless internet
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分形天线
• 现在报道的分形天线有：
– 分形电偶极子天线
– 分形磁偶极子天线
– 分形微带天线
– 分形阵列天线
– 频率选择表面