■电场与磁场分量的比值等于媒质中的波阻抗。 Eθ = η0 Hϕ
(1.11)
■适当建立坐标系，使基本振子轴与z轴重合，则其辐射 场只与θ角有关，与φ角无关。辐射场是旋转对称的。
1.1.3 元天线的辐射方向图
重写式(1.9)中的Eθ分量为
Idz − jβ r Eθ = jη0 e F (θ ) 2λ r
1 1 * * ˆ≠0 Wav = Re[E × H ] = Re[ Eθ Hϕ ]r 2 2
(1.8)
这表明在中场区中有径向方向的向外辐射现象。
●远场区(βr>>1) 该场区中的电磁场分量式(1.4)中只需保留1/r的那一项 即可，其它的项均可忽略不计。则远场区中只有Eθ和Hφ 分量，Er分量忽略不计。因此，基本振子的远区电磁场为
此式条件对口径天线也适用，不论是喇叭天线、反射 面天线还是平面阵列天线等，如果其最大口径尺寸为D， 则其远场区条件应满足
r ≥ 2D / λ
2
(1.26)
以上分析说明，只要观察点处于远场区，则其相位因 子中的R可由式(1.22)表示，而式(1.18)被积函数分母上的 R可用R≈r来近似。这种简化称为远场近似，即 对相位 ⎧ R ≃ r − z ′ cos θ (1.27) ⎨ 对幅度 ⎩R ≃ r 取R≈r-z'cosθ，表示由天线上某源点到远区场点的径向 矢量与由坐标原点到场点的径向矢量平行，如前面图(b) 所示。而r-R≈z´cosθ为两条射线的距离差，称为波程差。
■由定义，yz面为E面 (E面方向图有无穷多个)； xz面为H面。 ■与理想点源天线不同，元天线是有方向性的。
1.1.4 元天线的的Rr、D和Se
由元天线的远区辐射场表示式 (1.9)及辐射功率表示式 (0.6)，可得基本振子的辐射功率为
1 1 * ˆ E H Pr = � × ⋅ rds = ∫∫ s 2 2η0
⎧ Ar = Az cosθ ⎪ ⎨ Aθ = − Az sin θ ⎪A = 0 ⎩ ϕ
1 和 H = ∇ × A 可得
(1.3)
由
∇∇i A E = − jω A + jωµ0ε 0
µ0
β Idz 1 − jβ r ⎧ ⎪ Hϕ = j 4π r sin θ (1 + jβ r )e ⎪ ⎪ E = jη β Idz sin θ [1 + 1 + 1 ]e − jβ r 0 ⎪ θ 2 4 π r j β r ( j β r ) ⎨ ⎪ Idz 1 − jβ r cos θ (1 + )e ⎪ Er = η0 2 2π r jβ r ⎪ ⎪ Eϕ = H r = Hθ = 0 ⎩
(1.12) (1.13)
式中，
F (θ ) = sin θ
为元天线的方向图函数。其含义是：在半径为r的远区球 面上，其远区辐射场随θ角为正弦变化。由此可画出元 天线空间立体方向图和两个主面(E面和H面)的方向图， 如下图所示。
由图可以看出： ■θ=0，π时，辐射场为零；θ= π/2时，辐射场最大。 ■方向图函数与φ无关，在xy平面内方向图为圆。
(1.4)
式中，E为电场强度; H为磁场强度; 下标r、θ、φ表示球 坐标系中的各分量； 相位常数 β=2π/λ ， λ为媒质中的波长；
η0 = µ0 / ε 0 为媒质中波阻抗，在自由空间η0=120π;
由此式，可根据场点距离, 分区写出元天线的电磁场。
返回2 返回1 返回
1.1.2 元天线的场区划分
天线原理与设计
教师： 王建
电子工程学院二系
第一章 天线的方向图
天线的方向图可以反映出天线的辐射特性。天线的方 向图表示天线辐射电磁波的功率或场强在空间的分布图 形。对不同的用途，要求天线有不同的方向图。 这一章介绍几种简单的直线天线和简单阵列天线的方 向图，以及地面对天线方向图的影响。简单天线涉及元 天线、单线行波天线、对称振子天线等。简单阵列天线 涉及由同类型天线组成的二元阵、三元阵和多元阵，对 简单阵列将介绍方向图相乘原理。 线天线的分析基础是元天线。一个有限尺寸的线天线 可看作是无穷多个元天线的辐射场在空间某点的叠加。 因此这里首先讨论元天线。
R = ( x − x′)2 + ( y − y′)2 + ( z − z′)2 = x 2 + y 2 + ( z − z′)2
(1.19)
只要天线上电流分布I(z´)已知,由式(1.18)和(1.19)就可 得到天线的远区电磁场。对于任意位置的观察点来说， 式(1.18)很难得到一个闭合形式。如果天线上电流为正弦 分布，则式(1.18)能够简化得到一个闭合形式的表达式， 这将在后面介绍。现在不讨论天线上的电流分布如何， 只讨论观察点所处位置(区域)对式(1.18)积分的简化问题。 由观察点到坐标原点的距离 r = x 2 + y 2 + z 2 ，及关系 式 z = r cos θ ，式(1.19)可写作
1.1 元天线
1.1.1 元天线的辐射场
元天线又称为基本振子或电流元，它是一个长为dz的 无穷小直导线，其上电流为均匀分布I。如果建立如下图 所示坐标系，由电磁场理论很容易求得其矢量位A为 µ0 e − jβ r ˆ ˆ z A=z Idz = zA (1.1) 4π r
ˆ r + θˆ Aθ + ϕ ˆ Aϕ 在球坐标系中，A的表示为: A = rA
2 2 ′ ′ z z 2 sin θ = 2r 2r θ =π / 2
(1.23)
此时第四项变为零，可以证明式(1.21)中未写出的其余高 阶项也为零。这说明取近似表示式(1.22)的最大误差由式 (1.23)给出。对大多线尺寸大于一个波长(2l >λ)的实际天 线，业已证明：不超过π/8弧度的相位误差对辐射场的 求解精度影响不大。以此为标准来确定天线的远场区， 即最大相位误差满足 z′2 π β ≤ (1.24) 2r 8 对长度为2l的直线天线，取z'=±l，可得远场区满足条件 (2l ) 2 r≥2 (1.25) λ
Idz ⎧ − jβ r E = j η sin θ e (V / m) 0 ⎪ θ 2λ r ⎪ Idz ⎪ − jβ r H = j sin θ e ( A / m) ⎨ ϕ 2λ r ⎪ ⎪ Er = Eϕ = H r = Hθ = 0 ⎪ ⎩
(1.9)
导出基本振子远区辐射场表示式(1.9)的过程较繁，这 里给出一种快速求天线远区辐射场的方法。
链接
对于中等的βr值，电场的两个分量Eθ和Er在时间上 不再同相，而相位相差接近π /2 ，它们的大小一般不 等，其合成场为一个随时间变化的旋转矢量，矢量末端 的轨迹为一个椭圆，即为椭圆极化波。但合成场矢量是 在r和θ构成的平面内旋转。此时的Er分量为交叉极化场。 另一方面，电场分量和磁场分量在时间上趋于同相，它 们的时间平均功率流不为零。即
返回 链接
若已求得天线的矢量位A，则其远区辐射场可由如下 公式快速求得
⎧ E = − jω A ⎪ ⎨H = 1 r ˆ×E ⎪ η0 ⎩
(1.10)
由于传播方向为径向r方向，式中电场只计Eθ和Eφ分量。 由元天线远区辐射场公式(1.9)，可得如下特点： ■在给定坐标系下，电磁场只有分量Eθ和Hφ ，它们相互 垂直，同时又垂直于传播方向r。 ■电磁场分量都有因子e-jβr/r，实际上所有天线远区辐射 场均有此因子。 ■空间任意点处的电磁场相位相同，等相位面是一个球 心在基本振子中心点的球面。
利用球坐标系中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分 量的关系矩阵 ⎡ Ar ⎤ ⎡sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ ⎤ ⎡ Ax ⎤ ⎢ A ⎥ = ⎢cos θ cos ϕ cosθ sin ϕ − sin θ ⎥ ⎢ A ⎥ (1.2) ⎢ θ⎥ ⎢ ⎥⎢ y⎥ ⎢ cos ϕ 0 ⎥ ⎣ − sin ϕ ⎦⎢ ⎣ Aϕ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Az ⎥ ⎦ 因Ax=Ay=0，可得
上式R的取值不同主要影响式(1.18)中被积函数的相 位。因此，下面主要根据相位因子e-jβR中的βR满足给定 的相位要求来确定场区。
1.2.1 远场区
在远场区中一般取式(1.21)的前两项，即 R ≃ r − z ′ cos θ (1.22)
被略去的最大项为第三项，当θ= π/2时，该项出现最大值，即
返回 链接
近场区中的电场分量Eθ和Er在时间上同相，但它们 与磁场分量Hφ在时间上相位相差π /2。因此，近场区中 的电磁场在时间上是振荡变化的。即在某一时刻电场最 大时，磁场为零，磁场最大时，电场为零，就如谐振腔 中的电磁场一样。它们的时间平均功率流为零，没有能 量向外辐射。即
1 1 * * * ˆEr H ϕ ˆ θ Hϕ Wav = ReБайду номын сангаасE × H ] = Re[ rE −θ ]=0 2 2
任何天线的辐射场都可化分为近场区、中场区和远场 区三个区域。对于基本振子来说，这三个区域的划分较为 简单，且很容易写出各场区中的辐射电磁场。 ●近场区(βr<<1) Idz ⎧ − jβ r 在近场区中， ⎪ Hϕ = sin θ e 2 4 π r 式(1.4)表示的各 ⎪ Idz − jβ r ⎪ 电磁场分量只需 ⎪ Eθ = − jη0 sin θ e 3 4 πβ r (1.5) 取最后一项来近 ⎨ ⎪ Idz − jkr 似表示，即 E = − j η cos θ e ⎪ r 0 3 2 πβ r ⎪ ⎪ ⎩ Eϕ = H r = Hθ = 0
= 1.5
(1.16)
基本振子的有效面积为
λ2 3λ 2 Se = ( ) D = 4π 8π
(1.17)
1.2 有限尺寸天线的场区划分
前面对无穷小的基本振子(元天线)讨论了其场区划 分，主要目的是分析基本振子在各区中的电磁场分布， 从而了解其辐射机理。即