单调增区间
函数y ＝x x
+-11的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞)
.函数y ＝log 12
(4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( ) A.(－∞，32] B.[32
，＋∞) C.(－1，32) D.[32
，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，即函数y ＝log 12
(4＋3x －x 2)的定义 域为(－1,4)，
又y ＝log 12t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32
，4)上递减， 所以函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)在[32
，4)上递增. 答案：D
函数x x x f ln 2)(2-=的增区间是
2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++
解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)
x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和
（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+
当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--
即22(1)4(13)(1)4(13)
x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和
单调性的应用
1.求参数范围
(精选考题·抚顺六校第二次模拟)f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧ a x (x >1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)
B ．[4,8)
C ．(4,8)
D ．(1,8)
解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.
解得4≤a <8，故选B.
2. 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是
________． 解析：由于f (x )＝|log a x |在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23
，此即为a 的取值范围． 答案：12<a ≤23
3. ．已知函数f (x )＝3－ax a －1
(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；
(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即此时函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3. 当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1)⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 4. 【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2
在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )．
A ．a ＝－3
B ．a <3
C ．a ≤－3
D ．a ≥－3
解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，需⎩⎨⎧ a －3<0，a ＋2≤－1，
即⎩
⎨⎧ a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 答案 C
5. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，且周期是3，那么下列三个数(lg100)f , f (2
π), f (23π)，从大到小的顺序是f (2
π)>(lg100)f >f (23π) 例5．函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围． 分析：由函数9()log (8)a
f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x +-
>恒成立． 解：∵函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得1212
88a a x x x x +-<+-，即1212
()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴12
10,a x x +> 121,a x x >- 12a x x >-， ∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥； 又∵函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->， 即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．
另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+-
在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x
'=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．
例1 求解方程03x 8x )3x 7(55=++++。

解：设函数x x )x (f 5+=，则)x (f 是奇函数而且单调递增。

原方程等价于
)x (f )3x 7(f -=+，于是有)x (f )3x 7(f -=+，即x 3x 7-=+，得8
3x -=为所求方程的解。

二. 妙解方程
例2. 解方程4765x x x +=
解：易见x=2是方程的一个解 原方程可化为4657651⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x x 而f x x ()=⎛⎝ ⎫⎭⎪465（因为46501⎛⎝ ⎫⎭
⎪∈x ()，） 在R 上是减函数，g x x ()=⎛⎝ ⎫⎭
⎪765同样在R 上是减函数 因此f x g x x x ()()+=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪465765在R 上是减函数 由此知：当x >2时，465765465765122⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪<⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x x 当x <2时，465765465765122⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪>⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x x 这说明x >2与x <2的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解x =2。

拓展训练：解方程51222x x x -=+()。

（答：x =2）
点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x 0，然后等价转化为f x a a ()()=为常数的形式，最后根据f x ()的单调性得出原方程的解的结论。

例4. 解不等式log ()log 5161+>x x
解：设t x x x t ===log 165164，则，
原不等式可化为log ()514+>t t
则145+>t t ，即15451⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪>t t
设f t t t
()=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪1545 显然f t ()是R 上的减函数，且11=f ()，那么不等式 即f t f t ()()>⇒<11
因此有log 161x <，解得016<<x
点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。

用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式()5363033x x x ++++>。

（答：x >-12
）
抽象函数的单调性
函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.
解：（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,
则x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＞1.
f(x 2)-f(x 1)=f((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1＞0. ∴f （x 2）＞f(x 1).
即f(x)是R 上的增函数.
（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5
∴f （2）=3，
∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2＜2,
解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）.。