基础梳理
1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数．
例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____.
2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]．
例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____.
3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________,
基础梳理
1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞)
思考应用
1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？
1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．
2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？
2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于∀x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来．
自测自评
1．下列结论正确的是()
A ．函数y ＝－2x 在R 上为增函数
B ．函数y ＝x 2在R 上为增函数
C ．函数y ＝1x
在定义域内为减函数 D ．函数y ＝1x
在(－∞，0)上为减函数 2．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( )
A ．[0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞ 3．若f (x )在R 上是增函数，且f (x 1)＞f (x 2)，则x 1，x 2的大小关系为________．
自测自评
1．解析：借助图象知D 正确．故选D.
答案：D
2．解析：借助图象得y ＝－2x 2
＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.
答案：D
3．解析：∵f (x )在R 上是增函数，且f (x 1)＞f (x 2)，
∴x 1＞x 2.
答案：x 1＞x 2
►基础达标
1．使一次函数f (x )＝kx ＋b 为增函数的一个条件是( )
A ．k ＜0
B ．k ≤0
C ．k ＞0
D ．k ≥0
1．C
2．下列说法正确的是( )
A ．反比例函数y ＝k x
在区间(0，＋∞)上是减函数 B ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上
C ．反比例函数y ＝2x
是R 上的减函数 D ．一次函数f (x )＝－2x ＋b 是R 上的减函数
2.D
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是增函数，在区间(b，c)内也是增函数，则函数y＝f(x)在区间(a，b)∪(b，c)内()
A．必是增函数B．必是减函数
C．是增函数或减函数D．无法确定单调性
3.D
4．函数y＝
1
x＋2
的大致图象只能是()
4.B
5．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是____________．
5.[－5，－2]和[1，3]
6．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()
A．y＝|x| B．y＝3－x
C ．y ＝1x
D ．y ＝－x 2＋4 6．A
►巩固提高
7．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( )
A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
>0 B ．(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )
D.x 2－x 1f （x 2）－f （x 1）
>0 7．解析：由增函数的定义知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴A ，B ，D 都正确，故选C.
答案：C
8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，40]
B ．[40，64]
C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)
D ．[64，＋∞)
8．解析：只需f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴x ＝k 8的相应值k 8
在区间[5，8]外面，即k 8≤5或k 8
≥8， ∴k ≤40或k ≥64.
答案：C
9．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34的大小关系．
9．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122＋34≥34，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34. 10．设函数f (x )＝x ＋1x
，试讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性．
10．分析：根据函数单调性定义，作差f (x 1)－f (x 2)后通过x 在不同区间取值对差的符号影响进行讨论．
解析：设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2
. ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)的符号由x 1x 2－1确定．
设f (x )在(0，a ]上单调，则对任意x 1，x 2∈(0，a ]恒有x 1x 2－1＜0，而在x 1，x 2∈[a ，＋∞)时，恒有x 1x 2－1＞0，∴a 2－1＝0，a ＝1.
∴当x 1，x 2∈(0，1]时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上是减函数．
当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数．
1．判断函数单调性的方法．方法一：画图观察；方法二：根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．
2．利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；
(2)作差f (x 1)－f (x 2)；
(3)变形(通常是因式分解和配方)；
(4)定号(即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负)；
(5)下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．。