高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)
高三数学集体备课记录
课题：函数的单调性与导数
时间、地点2016年9月26日
主持人赵纯金
参与者张泽成黄翼
备课设想教材分析
本节的教学内容属导数的应
用，是在学生学习了导数的
概念、计算、几何意义的基
础上学习的内容，学好它既
可加深对导数的理解，又可
为后面研究函数的极值和最
值打好基础。

由于学生在高
一已经掌握了单调性的定
义，并能用定义判定在给定
区间上函数的单调性。

通过
本节课的学习，应使学生体
验到，用导数判断单调性要
比用定义判断简捷得多，充
分展示了导数解决问题的优
越性。

学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。

教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区
间，能由导数信息绘制函数
大致图象。

2.培养学生的观
察能力、归纳能力，增强数
形结合的思维意识。

3.通过
在教学过程中让学生多动
手、多观察、勤思考、善总
结，引导学生养
重点难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区
间。

难点：利用导数信息绘制函
数的大致图象。

教学方法 探究式教学，分组讨论，讲练结合等
教学策略
1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法
在处理一些单调性问题时难
度较大，这样易激发学生的
学习兴趣。

2.本节课宜适当
采用多媒体课件等辅助手段
以加大课堂容量，通过数形
结合，使抽象的知识直观化，
形象化，以促进学生的理解.
二．教学过程：
（一）复习回顾，知识梳理
1． 常见函数的导数公式：
；；；．
2．法则1 ．
法则2 , ．
法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '='
2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ϕϕ
y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f ( (x ))在点x 处也有导数，且 或f ′x ( (x ))=f ′(u ) ′(x )．
4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
5．对数函数的导数： ． 6．指数函数的导数：； ．
（二）讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函
数y=f(x)的导数．从函数的图像
可以看到： 的值随着x 的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2．用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f (x )的导数f ′(x )．
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间。

③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间。

（三）、讲解范例
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个
区间内是减函数。

解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2．
令2x －2＞0，解得x ＞1． ∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
令2x －2＜0，解得x ＜1．
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．
例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数
解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x
令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
ϕx u x u y y '''⋅=ϕϕx x 1)'(ln =e x
x a a log 1)'(log =x x e e =)'(a a a x x ln )'(=342+-=x x y /y ∞+∞-/y <∞-/y /y y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0
321f x () = x 2-4⋅x ()+3x O y B
A 21f x () = x 2-2⋅x ()+4x O y 21f x () = 2⋅x 3-6⋅x 2()+7x
O y
令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．
例3证明函数f (x )=在(0，+∞)上是减函数． 证法一：（用以前学的方法证）
证法二：（用导数方法证）
∵f ′(x )=( )′=(－1)·x －2=－，x ＞0，∴x 2＞0，∴－＜0． ∴f ′(x )＜0，∴f (x )=
在(0，+∞)上是减函数。

点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间．
解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1)
=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )
令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜． ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞且x ≠1． ∵为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(
，+∞) 例5当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x ．
分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x ．∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明。

证明：令f (x )=e 2x －1－2x ． ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x －1)
∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x －1)＞0, 即f ′(x )＞0
∴f (x )=e 2x －1－2x 在(0，+∞)上是增函数。

x 1x 121x 21x
21x 52525
21x =5212
5
f x () = x 2⋅1-x ()3
x O y
∵f (0)=e 0－1－0=0．∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x －1－2x ＞0． ∴1+2x ＜e 2x
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。

例6已知函数y =x +，试讨论出此函数的单调区间。

解：y ′=(x +)′ =1－1·x －2= 令
＞0． 解得x ＞1或x ＜－1．
∴y =x +的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． 令＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1． ∴y =x +
的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． （四）课堂练习
1．确定下列函数的单调区间
(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
2．讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间．
3．求下列函数的单调区间(1)y = (2)y = (3)y =+x （五）小结
f (x )在某区间内可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数
（五）.课后作业 步步高P285-286
三．教学反思：本节课通过观察分析、小组讨论，加深了学生对函数单调性与导数关系的理解，但在
x 1x 12
22)1)(1(1x x x x x -+=-2)1)(1(x x x -+x 12
)1)(1(x x x -+x 1x
x 2+92-x x x -22-11f x () = x+1
x
x O y
练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢，运用时不熟练且易出错，所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。