相似三角形与动点问题
1、将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=23,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时□DPBQ的面积.
D
A C
B
2、(2011浙江省舟山)已知直线3+=kx y (k <0)分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,线段OA 上有一动点
P 由原点O 向点A 运动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,设运动时间为t
秒.
(1)当1-=k 时,线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动,它与点P 以相同速度同时出发,当点P 到达点A 时两点同时停止运动(如图1). ① 直接写出t =1秒时C 、Q 两点的坐标;
② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求t 的值.
B
A
O P
C
x
y
11
D
(第24题图1)
3、(2011江苏扬州,)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动。
同时,动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP。
设运动时间为t秒(t>0)
(1)△PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由;
(2)若∠ABC=60º,AB=43厘米。
①求动点Q的运动速度;
②设Rt△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;
(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由。
4、(2011四川重庆)矩形ABCD中,AB=6,BC=23,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP =3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动,到达A点后,立即以原速度沿AO 返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动.在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧,设动动的时间为t秒(t≥0).
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数
关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,
求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
5、(2011福建泉州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,且
OA = 3,AB = 5.点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻
以原来的速度沿AO返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、
Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发,当点
Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)求直线AB的解析式;
(2)在点P从O向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t之间的函数关系式(不必写出t的取值范
围);
①四边形QBED能否成为直角梯形?若能,请求出t的值;
若不能,请说明理由;
②当DE经过点O时,请你直接写出t的值.
(第26题)
6、(2010 浙江省温州市)(本题l4分)如图,在RtAABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B 作射线BBl ∥AC .动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D 作DH ⊥AB 于H ,过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ,G 是EF 中点,连结DG .设点D 运动的时间为t 秒.
(1)当t 为何值时,AD=AB ,并求出此时DE 的长度; (2)当△DEG 与△ACB 相似时,求t 的值;
(3)以DH 所在直线为对称轴,线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′. ①当t>
5
3
时,连结C ′C ,设四边形ACC ′A ′的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式; ②当线段A ′C ′与射线BB ,有公共点时,求t 的取值范围(写出答案即可).
7、(2010 浙江台州市)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P 从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.
(1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
H
(第24题)
8、(2010湖南长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA cm OC cm
==,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm 82,8
的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,求t的值
9、(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =
EF
BC
;
(2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;
(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.
(第21题)
10、(2010江苏淮安)如题28(a)图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(12,0),点B坐标为(6,8),点
C为OB的中点,点D从点O出发,沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周.
(1)点C坐标是( , ),当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( , );
(2)设点D运动的时间为t秒,试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时,S最大;
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动,如题28(b)图,若点E与点D同时
出发,问在运动5秒钟内,以点D,A,E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A.O为对应顶点的情况):
题28(a)图题28(b)图。