第20章 成本最小化
1．证明：一个利润最大化的厂商总是成本最小化的。

证明：假设x 和w 都是向量。

若一个厂商实现利润最大化，则存在x *，使得：
()()
10
max x pf x w x pf x w x **≥-⋅=-⋅
对于给定的()*q f x =，成本最小化的数学表达是：
()0
min x w x
s t f x q
=⋅≥.．
若存在x '，满足()f x q '=，但*·
·w x w x '<，则()()**pf x wx pf x wx '-'>-，这就与利润最大化相矛盾。

2．一个在1122
//MP MP ωω>情况下生产的企业如何降低成本而维持相同产量？ 答：一个在1122
//MP MP ωω>的情况下生产的企业通过增加要素1的投入，减少要素2的投入就可以降低成本而维持相同产量。

成本最小化的必要条件是：
1122//MP MP ωω=
在企业的边际产出递减的条件下，企业1增加要素1的投入就会降低1MP ，减少要素2的投入就会提高2MP ，这一过程一直持续到1122
//MP MP ωω=时，企业就达到了最小成本。

3．假定一个成本最小化的厂商使用两种完全替代的投入。

如果这两种投入价格相同，
它们的条件要素需求会是什么样子？
答：对于一个使用完全替代投入的厂商，为简单起见，假设生产函数为()1212,f x x x x =+，假设它的产量是q ，由于要素价格相等，可以假设121w w ==，则成本最小化的数学表达为：
1212
00
12min .x x s t x x x q
x ≥≥++=，．
由于约束条件和目标函数式相同，所以不论1x 和2x 的取值如何，厂商都可以达到最小成本，即企业在这种情形下，可以任意使用两种要素的数量，只要使得()1212,y f x x x x ==+即可。

因此厂商的要素需求函数为：
1x =0到q 之间任意的值，21x q x =-
4．一个成本最小化厂商使用的一种生产要素是纸张，如果纸张的价格上涨，企业对此的反应是改变某些要素的需求量，但维持产量不变。

在这种情况下，企业的用纸量会发生什么样的变化？
答：在使用两种要素进行生产的情形下，由成本最小化弱公理可知：
11220w x w x ∆∆+∆∆≤
若纸张（要素1）的价格上升，要素2的价格不变即20w ∆=，因此上述不等式变为：
110w x ∆∆≤
这表明，纸张价格上升，在维持产量不变时，企业对纸张的需求要么下降要么不变。

5．设一家厂商使用n 种投入（2n >）进行生产，对于一个既定的产出水平，对于要素价格变化（i ω∆）和要素需求变化i x ∆，显示成本最小化弱公理会导出什么不等式？
答：由成本最小化弱公理可知，在n 种生产要素情形下有：
1122......0i i n n w x w x w x w x ∆∆+∆∆+∆∆++∆∆≤
若其他要素价格不变，只有要素i 价格变动，即0j w ∆=（j i ≠），则由上式可知，0i i w x ∆∆≤。