三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．二、精讲精练1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．21DBA21D C BA21DBA2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC．3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．EDCB AD A4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．D BF EDCB A5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．OED CBA求证：CE 21BD ．【参考答案】EDCB AEDCAFA C12【知识点睛】 线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1. 补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∵∠ABD 是△BDE 的一个外角 ∴∠ABD =∠E ＋∠BDE ∵BE =BD ∴∠E =∠BDE ∴∠ABD =2∠E ∵∠ABD =2∠C ∴∠E =∠C在△ADE 和△ADC 中12E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB ＋BE=AB ＋BD 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC ∴AC =AF +FCE21DCBA321G CDB A EF =AB +BD2. 证明：如图，在CD 上截取CF =CB ．∵CE 平分∠CBD ∴∠1=∠2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△CBE （SAS ） ∴∠CFE =∠B ∵∠B =90°∴∠CFE =∠DFE =90° ∵∠A =90° ∴∠DFE =∠A ∵DE 平分∠ADC ∴∠3=∠4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DEA （AAS ） ∴DF =AD ∴CD =DF +CF =AD +BC3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．∵∠D =∠ABC =90°∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2∵∠BAD =90°，∠EAF =45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF =45° ∴∠GAF =∠EAF4321FE D CA87654321FO CDBEA43FED A 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGF ≌△AEF （SAS ） ∴GF =EF ∵GF =BF +BG ∴EF =BF +DE4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．∵AD ，CE 为△ABC 的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO 和△AFO 中12AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEO ≌△AFO （SAS ）∴∠5=∠6 ∵∠ABC =60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180∠B =18060 =120 ∴∠2+∠3=60∴∠AOC =180°60 =120°∴∠5=∠6=∠7=∠8=60° 在△OFC 和△ODC 中8734OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△OFC ≌△ODC （ASA ） ∴CF =CD ∴AC =AF +FC =AE +CD5. 证明：如图，延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵CE ⊥BD∴∠BEF =∠BEC =90° ∵∠BAC =90° ∴∠CAF =∠BAD =90°∵∠3=∠4∴∠1=∠5在△BAD 和△CAF 中15AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△CAF （ASA ） ∴BD =CF∵BE 平分∠ABC ∴∠1=∠2在△BEF 和△BEC 中12BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BEF ≌△BEC （ASA ） ∴EF =EC∴CE =12CF∴CE =12BD三角形全等之截长补短每日一题1. （4月28日）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ．求证：CD =AB +BD ．D CB A21A2.（4月29日）如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．求证：AB AC>PB PC．3.（4月30日）已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．4.（5月2日）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．21NPD CADA求证：AE =BE +DF ．【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取DE =BD ，连接AE ．E21A B D∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AED （SAS ） ∴∠B =∠1，AB =AE ∵∠B =2∠C ∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC 的一个外角 ∴∠1=∠C +∠2 ∴∠C =∠2 ∴AE =CE∴CD =CE +ED=AE +BD =AB +BD（如果延长DB 到点F ，使BF =AB ，连接AF 也可进行证明） 2. 证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ．E A BCDP12则AB AC =ABAE =EB在△AEP 和△ACP 中 12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （SAS ） ∴PE =PC 在△PEB 中，PB PE <EB∴PBPC <EB ∴AB AC >PB PC（延长AC 到点F ，使AF =AB ，连接PF ，也可证明结论） 3. 证明：如图，在BC 上截取BE =BA ，连接PE ．43E21N PD BA在△ABP 和△EBP 中12BA BE BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△EBP （SAS ） ∴∠A =∠3∵∠A +∠C =180°，∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C∴∠PDE =∠PDC =90° 在△PDE 和△PDC 中4C PDE PDC PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDE ≌△PDC （AAS ） ∴DE =DC ∴BD =BE +ED=AB +CD（过点P 作PF ⊥BA 于F ，也可进行证明）4. 证明：如图，延长EB 到点G ，使BG =DF ，连接AG ．54321G FEDCBA∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB =AD ，∠D =∠ABC =∠BAD =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADF 中AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADF （SAS ） ∴∠1=∠2，∠5=∠G ∵AF 平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90° ∴∠3+∠G =90° ∵∠1+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠4=∠G ∴AE =EG ∵EG =BE +BG三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．AD【参考答案】1.证明略提示：在BC上截取BE=AB，证明△ABD≌△EBD，再证明CE =AD ．三角形全等之截长补短（作业）1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．AB CD AB CD AB CD2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．CD BAECD E3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ，连接EC ． 求证：BC =AB +CE ．EADCEADC4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．A DECFBA DECFB87654321MAD E CF B【参考答案】1. 证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ， 再证明CE =DE ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CFA ，再证明BE =FE ． 3. 证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ， 再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 截长法：证明：如图，在CF 上截取CM=BA ，连接DM ． ∵△BDC 为等腰直角三角形，BD=CD ∴∠1=∠DCB =45° ∵CE ⊥AB ，∠BDC =90° ∴∠CEB =∠BDC =90° ∵∠2=∠3 ∴∠4=∠5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△MCD （SAS ） ∴DA =DM ，∠6=∠7 ∵AD ∥BC ∴∠7=∠1=45° ∴∠6=45° ∴∠8=45° ∴∠7=∠8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△MDF （SAS ） ∴AF =MF ∴CF =CM+MF=AB+AF 补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G ． ∵△BDC 为等腰直角三角形 ∴∠GDB =∠BDC=90°，∠5=45° ∵CE ⊥AB∴∠CEB =∠BDC =90° ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4在△GBD 和△FCD 中34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GBD ≌△FCD （ASA ） ∴BG =CF ，DG =DF ∵AD ∥BC ∴∠6=∠5=45° ∴∠7=45° ∴∠6=∠7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GDA ≌△FDA （SAS ） ∴AG =AF ∵BG =AB +AG ∴CF =AB +AF1234567G A DE CF B。