个性化教学辅导教案
学科：数学 年级：九年级 任课教师： 授课时间： 2017 年 春季班 第1周 教学 课题
圆的基本性质
教学 目标 1、掌握圆及与圆有关的概念，掌握圆的对称性。

2、掌握点与圆的位置关系。

3、掌握垂径定理，并利用垂径定理求线段的长度。

教学 重难点 圆及与圆有关的概念，垂径定理及其应用。

垂径定理及其应用。

教学过程
【知识要点】 1、圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径），以点O 为圆心的圆记作⊙O ， 读作“圆O ”。

注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。

2、圆有关的概念
①弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

②弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

③弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧分为半圆、优弧、劣弧三种。

自我检测：如图所示，线段AB 、CD 是⊙O 的_____；CD 经过点O ，是⊙O 的
______，在一个圆中，_____是最长的弦,CD ⌒ 是______，AB ⌒ 和AC ⌒ 是_____，ACD
⌒ 和BDC ⌒ 是______。

④能够完全重合的两个圆叫做________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做__________。

3、点和圆的位置关系
点和圆的位置关系：设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种: ①点在圆外⇔r d >；②点在圆上⇔r d =；③点在圆内⇔r d <。

4、圆的对称性
圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心。

注意：①圆有________条对称轴。

②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的的弧________，所对的弦_________。

③在同圆或等圆中，如果两个___________，两条_________，两条_________中有一组量
_________，那么他们所对应的其余各组量都分别_________。

自我检测：如图D C B A 、、、是⊙O 上的四点，
①如果AB=CD ，则AB ⌒ =______，=∠COD ______； ②如果AD ⌒ =BC ⌒ ，则=∠AOD ______；
③如果COB AOD ∠=∠，则AB =______，CD
⌒ =_______。

5、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②CD AB ⊥ ③DE CE = ④ BC
⌒ =BD ⌒ ⑤ AC ⌒ =AD ⌒ 中任意2个条件推出其他3个结论。

【例题解析】
例1、在ABC ∆中，∠ACB =90°，AC =2，BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A 、B 、M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2、已知如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且OC AB =，求A ∠的度数。

例3、在半径为cm 5的圆中，弦CD AB //，cm CD cm AB 86==，，则AB 和CD 的距离是多少？
O E
D
C
B A
M
A
B
C
D
O
E
B
A
C
例4、如图⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知，cm AE 6=cm EB 2=，
30=∠CEA ，求CD 的长。

例5、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别为2，3，求BAC ∠的度数。

例6、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CD CE ⊥交AB 于E ， CD DF ⊥交AB 于F 求证：
BF AE =。

【课堂训练】
一、基础题
1、下列命题中错误的有（ ）
（1）弦的垂直平分线经过圆心 （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分 （4）圆的对称轴是直径 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、在ABC ∆中， 90=∠C ，cm BC AB 4==，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，cm 4长为半径作
A
B D
C
O
·
E
圆，则D C B A 、、、四点中在圆内的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等
B ．等弧所对的弦相等
C ．圆心角相等，所对的弦相等
D ．弦相等所对的圆心角相等
4、如图，半圆的直径AB =4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD //AB ，则弦CD 的长为（ ） A ．23
B ．3
C ．5
D ．25
5、已知如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且cm PD cm AP 24==，，则⊙O 的半径为 A ．4cm
B ．5cm
C ．24cm
D ．23cm
（题4） （题5） （题6） （题9）
6、如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于D C 、，已知4=AB ，2=CD ，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A ． 2:3
B ．5：2
C ．2:5
D ．4:5
二、提高题 7、⊙O 的半径是cm 3，P 是⊙O 内一点，cm PO 1=，则点P 到⊙O 上各点的最小距离是 。

8、一条弦把圆分成3:1两部分，则弦所对的圆心角为 。

9、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径AB OE ⊥，CD OF ⊥，则EOD ∠ B O F ∠， AC
⌒ AE ⌒ ，AC AE 。

10、如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，cm AB 10=，cm OP 5=，cm PA 4=，求⊙O 的半径。

11、在等腰三角形ABC 中，C B 、为定点，且AB AC =，D 为BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ，问：（1）顶角A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？（2）顶角A 等于多少度时，点A 在⊙D 内部？（3）顶角A 等于多少度时，点A 在⊙D 外部？
【中考真题】
1、（2017泰安）如图，ABC ∆内接于⊙O ，若α=∠A ，则OBC ∠等于（ ）
A ．180°﹣2α
B ．2α
C ．90°+α
D ．90°﹣α
2、（2017阿坝州）如图将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长
为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．52cm
D ．32cm
3、（2017潍坊）点C A 、为半径是3的圆周上两点，点B 为AC ⌒ 的中点，以线段BA 、
BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A ．225或
B ．325或
C ．226或
D ．326或。