函数的连续性·教案示例
目的要求
了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值．
内容分析
1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念
时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0
在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的．
2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善．
3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思：
(1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义；
(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0
00→→存在；＝
可结合图形说明，只要缺其中的任意一个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解．
4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连
续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、
→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x a
x b +-
层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维．
5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的．
6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．
7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f(x 0)．也可用“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy
也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0
认识． 教学过程
1．实例引入概念，图形直观说明
(1)水银柱高度随温度的改变而连续变化；
(2)邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加．
函数值是否会因为自变量的细小变化而“大起大落”，这就是要研究的问题．引出课题： 函数的连续性
从下列图形中分析：
问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？
(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0
00→→是否存在？是否与相等？
答：图(1)满足3条；图(2)不满足(1)；图(3)不满足条件(2)；图(4)不满足条件(3)． 由此概括出函数在一点处连续的定义．
2．函数在一点处连续的定义：
如果函数＝在点＝处及其附近有定义，而且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0
f(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．
指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 0
00
提问：连续函数在图形上有何特点？
3．举例应用
例 讨论下列函数在给定点处的连续性：
(1)f(x)x 0＝，点＝；1x
(2)g(x)＝sinx ，点x ＝0．
解：画图．
(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因而它在点＝处不连续．1x
(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0
课堂练习：教科书第97页练习第1、2题(不连续的指出不满足定义中的哪一条)，第98页习题2．6第2、4题．
4．函数在区间里连续
(1)在开区间连续：如果函数在某一开区间(a ，b)内每一点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续，或说函数是开区间内的连续函数．
(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x
＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b
+- 区间[a ，b]上连续．
5．闭区间上连续函数的性质
性质(最大值最小值定理)：如果f(x)是闭区间[a ，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a ，b]上有最大值和最小值．
6．归纳小结
(1)函数在一点处连续的定义．
(2)判定函数在一点处是否连续：
方法1：由定义说明，方法2：由图象直观说明．
(3)闭区间上连续函数的性质．
想一想：函数在某一点的极限与连续有何关系？
布置作业 教科书第98页习题2．6第1、3题。