难点33函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x ,(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x 则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3)lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于()A.23 B.32 C.1 D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为()A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→=_________.4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( 21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3,lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1,lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1),lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f 2311111)0(11111(323=+++=++++++=f x x x 答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x 即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C 二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f xx x x f x x x x x 解析答案：21三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1)lim 10-→x f (x )=－1,lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续.(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )=lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )=lim 0+→x f (x )=lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)。