考点20 尺规作图知识整合一、尺规作图1．尺规作图的定义在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种基本作图（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．3．根据基本作图作三角形（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．6．作图题的一般步骤（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.二、尺规作图的方法1．尺规作图的关键（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．重点考向考向一基本作图1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．2．基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．典例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CDC．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D【解析】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例2如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．（1）尺规作图：①在AN上取一点C，使BC=BA；②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．1 2【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；如图，点C即为所求作；②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠CBD，∵∠MBC=∠A+∠BCA，即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．考向二复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形．典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．【答案】见解析．【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；③如图所示，线段CF即为所求；（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．故答案为：两点之间，线段最短．3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是A．用尺规作一条线段等于已知线段B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D．不能确定2．下列作图属于尺规作图的是A．画线段MN=3 cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是A ．BH 垂直平分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AHD ．AB =AD4．如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠AOB =∠NCB ，作图痕迹中，弧FG 是A ．以点C为圆心，OD 为半径的弧 B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧5．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于EF 长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③作射线AG 交BC 边于点D ． 则∠ADC 的度数为A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°6．如图，△ABC 为等边三角形，要在△ABC 外部取一点D ，使得△ABC 和△DBC 全等，下面是两名同学做法：甲：①作∠A 的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求； 12乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．8．如图，在△ABC中，AB=A C．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为__________度．9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线MN．10．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，（1）尺规作图：作∠ABC 的平分线交AC 于D 点（保留作图痕迹，不写作法） （2）若∠C =30°，求证：DC =DB ．直通中考1．（2019•河南）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．B ．4C ．3D2．（2019•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG =1，AC =4，则△ACG 的面积是1212A ．1B ．C ．2D ．3．（2019•北京）已知锐角∠AOB ，如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是A ．∠COM =∠CODB ．若OM =MN ．则∠AOB =20°C ．MN ∥CDD ．MN =3CD4．（2019•广西）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠A =40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG 的度数为A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．（2019•新疆）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．则下列说法中不正确的是3252PQPQ 12A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD =BDC ．S △CBD ∶S △ABD =1∶3D ．CD =BD 6．（2019•荆州）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 分别落在∠MON 的边OM ，ON 上，若OA =OC ，要求只用无刻度的直尺作∠MON 的平分线．小明的作法如下：连接AC ，BD 交于点E ，作射线OE ，则射线OE 平分∠MON ．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7．（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是A ．B ．C ．D ．8．（2019•长沙）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数是1212A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2019•襄阳）如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C ，D 两点，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则四边形ADBC 一定是A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．（2019•广东）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE ，使∠ADE =∠B ，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．11．（2019•长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．12．（2019•贵阳）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点B ，D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若AE =2，BE =1，则EC 的长度是AD DB AEECABC △ACB ∠AB D 2ADC B ∠=∠12A ．2B ．3 CD13．（2019•宜昌）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是A ．B ．C ．D ．14．（2019•潍坊）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；③连接交于点．下列结论中错误的是A ．B ．C ．D ． 15．（2019•东营）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连接．若，D BC AOB ∠O AOB ∠C D CD C D OC AOB ∠E CE DE OE CD M CEO DEO ∠=∠CM MD =OCD ECD ∠=∠12OCED S CD OE =⋅四边形Rt ABC 90ACB ∠=︒B C 12BC D E ，DE AB F BC G CF 3AC =，则的长为A ．B ．C ．D ．16．（2019•宁夏）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则__________．17．（2019•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知，请根据“SAS ”基本事实作出，使．18．（2019•玉林）如图，已知等腰顶角． 2CG =CF 523272Rt ABC △90C ∠=︒B AB BC ，M N ，M N ，12MN P BP AC D 30A ∠=︒BCDABDS S =△△ABC △DEF △DEF ABC △≌△ABC △30A ∠=︒（1）在AC 上作一点D ，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：是等腰三角形．19．（2019•长春）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6． （2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．20．（2019•哈尔滨）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；AD BD =BCD△A B C D E F 、、、、、AB ABM △CD CDN △EF EFGH 90EFG ∠=︒AC AC ABC △B（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8．21．（2019•济宁）如图，点和点在内部．（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由．22．（2019•河池）如图，为的直径，点在上．（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论． AC ACD △D ACD△M N AOB ∠P P M N AOB∠AB O C O BAC ∠O D OD BC E OE AC23．（2019•赤峰）已知：是的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若，求的周长．24．（2019•杭州）如图，在△ABC 中，AC <AB <BC ．（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连接AP ，求证：∠APC =2∠B ．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ．若∠AQC =3∠B ，求 ∠B 的度数．AC ABCD AC AD E CE 35AB BC ==，DCE△25．（2019•吉林）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD= ∠CHD=90°．26．（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB．27．（2019•江西）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．参考答案1．【答案】B【解析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线，故选B．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°．2．【解析】（1）如图，AD为所作；（2）∵∠C=90°，∠B=40°．∴∠BAC=90°–40°=50°，3．【解析】首先作一条射线，进而截取AB=A′B′，∠CAB=∠C′A′B′，进而截取AC=A′C′，进而得出答案．如图所示：△A′B′C′即为所求．1．【答案】C【解析】根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C．2．【答案】D【解析】选项A，画线段MN=3 cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；选项B，用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；选项C，用三角尺作过点A 垂直于直线l的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；选项D，正确．故选D．3．【答案】A【解析】由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故选A．4．【答案】D【解析】作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选D．5．【答案】A【解析】由题意得AG为∠CAB的角平分线，则∠ADC=25°，∵∠C=90°，∴∠ADC=65°，故选A．6．【答案】A【解析】（甲）如图一所示，∵△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BEA=90°，∴∠BED=90°，∴∠BEA=∠BED=90°，由甲的作法可知，AB=BD，∴∠ABC=∠DBC，在△ABC与△DBC中，AB BDABC DBC BC BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABC≌△DBC，故甲的作法正确；（乙）如图二所示，∵BD∥AC，CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，在△ABC和△DCB中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△ABC≌△DCB（ASA），∴乙的作法是正确的．故选A．7．【答案】40°【解析】∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∴∠C=40°，故答案为：40°．8．【答案】37【解析】∵AB =AC ，∠A =32°， ∴∠ABC =∠ACB =74°， 又∵BC =DC ， ∴∠CDB =∠CBD =∠ACB =37°， 故答案为：37． 9．【解析】作法：10．【解析】（1）射线BD 即为所求．（2）∵∠A =90°，∠C =30°， ∴∠ABC =90°﹣30°=60°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠CBD =∠ABC =30°， ∴∠C =∠CBD =30°， ∴DC =DB ．1．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．1212∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32， ∴CD =A ． 2．【答案】C【解析】由作法得AG 平分∠BAC ，∴G 点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1， 所以△ACG 的面积=×4×1=2．故选C ． 3．【答案】D【解析】由作图知CM =CD =DN ，∴∠COM =∠COD ，故A 选项正确；∵OM =ON =MN ，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON =60°， ∵CM =CD =DN ，∴∠MOA =∠AOB =∠BON =∠MON =20°，故B 选项正确； ∵∠MOA =∠AOB =∠BON =20°，∴∠OCD =∠OCM =80°，∴∠MCD =160°， 又∠CMN =∠AON =20°，∴∠MCD +∠CMN =180°，∴MN ∥CD ，故C 选项正确； FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩121312∵MC +CD +DN >MN ，且CM =CD =DN ，∴3CD >MN ，故D 选项错误，故选D ． 4．【答案】C【解析】由作法得CG ⊥AB ，∵AC =BC ，∴CG 平分∠ACB ，∠A =∠B ，∵∠ACB =180°-40°-40°=100°， ∴∠BCG =∠ACB =50°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C =90°，∠A =30°，∴∠ABC =60°，∴∠ABD =30°=∠A ，∴AD =BD ，所以B 选项的结论正确； ∵∠CBD =∠ABC =30°，∴BD =2CD ，所以D 选项的结论正确； ∴AD =2CD ，∴S △ABD =2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选C ． 6．【答案】C【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴AE =CE ，而OA =OC ，∴OE 为∠AOC 的平分线．故选C ． 7．【答案】C【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C ． 8．【答案】B【解析】在△ABC 中，∵∠B =30°，∠C =90°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =60°，由作图可知MN 为AB 的中垂线，∴DA =DB ，∴∠DAB =∠B =30°，∴∠CAD =∠BAC -∠DAB =30°，故选B ． 9．【答案】D【解析】由作图可知：AC =AD =BC =BD ，∴四边形ACBD 是菱形，故选D ． 10．【解析】（1）如图，∠ADE 为所作．（2）∵∠ADE =∠B ， ∴DE ∥BC ， ∴=2． 1212AE ADEC DB11．【答案】B【解析】∵且， ∴， ∴，∴点是线段中垂线与的交点，故选B ． 12．【答案】D【解析】由作法得CE ⊥AB ，则∠AEC =90°， AC =AB =BE +AE =2+1=3，在Rt △ACE 中，CE．故选D ．13．【答案】A【解析】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 由此可知：选项A 符合条件，故选A ． 14．【答案】C【解析】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE =∠DOE ， ∵OC =OD ，OE =OE ，OM =OM ， ∴△COE ≌△DOE ，∴∠CEO =∠DEO ，∵∠COE =∠DOE ，OC =OD ，∴CM =DM ，OM ⊥CD ，∴S 四边形OCED =S △COE +S △DOE =， 但不能得出，∴A 、B 、D 选项正确，不符合题意，C 选项错误，符合题意，故选C ． 15．【答案】A【解析】由作法得垂直平分， ∴，，， ∵，∴，∴， ∴为斜边上的中线， ∵， ∴．故选A ． 2ADC B ∠=∠ADC B BCD ∠=∠+∠B BCD ∠=∠DB DC =D BC AB =BC BC OE AOB ∠111222OE CM OE DM CD OE ⋅+⋅=⋅OCD ECD ∠=∠GF BC FB FC =2CG BG ==FG BC ⊥90ACB ∠=︒FG AC ∥BF CF =CF AB 5AB ==1522CF AB ==16．【答案】【解析】由作法得平分，∵，，∴， ∴，∴， 在中，，∴，∴．故答案为：． 17．【解析】如图，即为所求．18．【解析】（1）如图，点D 为所作．（2）∵， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴是等腰三角形．19．【解析】（1）如图①所示，即为所求．（2）如图②所示，即为所求． （3）如图③所示，四边形即为所求． 12BD ABC ∠90C =︒∠30A ∠=︒60ABC ∠=︒30ABD CBD ∠=∠=︒DA DB =Rt BCD △2BD CD =2AD CD =12BCD ABD S S =△△12DEF△AB AC =1(18036)722ABC C ︒=-︒∠∠==︒DA DB =36ABD A ∠=∠=︒363672BDC A ABD ∠=∠+∠=︒+=︒︒BDC C ∠=∠BCD △ABM △CDN △EFGH20．【解析】（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点．（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点．21．【解析】（1）如图，作∠AOB 的角平分线与线段MN 的垂直平分线交于P 点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等．（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 22．【解析】（1）如图所示：（2），． 理由如下：∵平分，AC AC B C ACD P M N AOB∠OE AC ∥12OE AC =AD BAC ∠∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴为的中位线， ∴，． 23．【解析】（1）如图，为所作．（2）∵四边形为平行四边形，∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴，∴的周长． 24．【解析】（1）∵线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，∴PA =PB ， ∴∠B =∠BAP ， ∵∠APC =∠B +∠BAP ， ∴∠APC =2∠B ．（2）根据题意可知BA =BQ ， ∴∠BAQ =∠BQA ，∵∠AQC =3∠B ，∠AQC =∠B +∠BAQ ， ∴∠BQA =2∠B ，∵∠BAQ +∠BQA +∠B =180°， ∴5∠B =180°，∴∠B =36°．12BAD BAC ∠=∠12BAD BOD ∠=∠BOD BAC ∠=∠OE AC ∥OA OB =OE ABC △OE AC ∥12OE AC =CE ABCD 53AD BC CD AB ====，E AC EA EC =DCE △538CE DE CD EA DE CD AD CD =++=++=+=+=25．【解析】（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．26．【解析】（1）如图所示，线段AF即为所求．（2）如图所示，点G即为所求．（3）如图所示，线段EM即为所求．27．【解析】（1）如图1，EF为所作．（2）如图2，∠BCD为所作．。