集合知识点总结及习题集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式：{ a,b,c,d }适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x|x满足的条件}例如：{x∈R| x-3>2} 或{x| x-3>2}适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}有理数集Q实数集R有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，A⊆（或B⊇A）记为BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：①B同一集合。

②符号∈与⊆的区别反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B定义：如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”3.真子集:如果A⊆B,且存在元素x∈B,但x∉A,那么就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)4.性质①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算第一章：集合与函数的概念第一课时：集合1.1集合的含义与表示1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。

元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做a∉A。

1.1.2集合中的元素的特征：①确定性：如世界上最高的山；②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。

1.1.3集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。

①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。

②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。

本节精讲：一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。

（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；（2）方程x2=4的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）∏的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。

解：练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1）平面直角坐标系内x轴上方的一些点；（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；（3）一元二次方程x2+bx-1=0的根；（4）平面内两边之和小于第三边的三角形（5） x2,x2+1,x2+2；（6） y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8）新华书店中意思的小说全体。

二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。

例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)| y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）A、2∈A，且2∈BB、（1,2）∈A，且（1,2）∈BC、2∈A，且（3,10）∈BD、（3,10）∈A，且2∈B解：C练习：3.1415 Q；∏ Q； 0 R+； 1 {（x,y）|y=2x-3}； -8 Z；三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性例：集合A 是由元素n 2-n ，n-1和1组成的，其中n ∈Z ，求n 的取值范围。

解：n 是不等于1且不等于2的整数。

练习:1. 已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq 2},a ≠0,且M 与N 中的元素完全相同，求d 和q 的值。

2. 已知集合A={x ，xy,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010的值为 ，A=B= .3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2-4}求实数a 的值； (2)若mm+-11 ∈{m},求实数m 的值。

4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。

5.已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法 练习；1. 用列举法表示下列集合。

（1） 方程 x 2+y 2=2d 的解集为 ； x-y=0（2）集合A={y|y=x 2-1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为 ；（3）集合B={x+18∈Z|x ∈N}用列举法表示为 ；（4）集合C={x|=aa ||+b b ||，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ；2.用描述法表示下列集合。

（1）大于2的整数a 的集合；（2）使函数y=()()111+-x x x 有意义的实数x 的集合；（3）{1、22、32、42、…}3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。

五．有关集合的分类：六．集合概念的综合问题： 练习1. 若{}t tt∈+-13，则t 的值为 _____________； 2. 设集合A={y|y=x 2+ax+1，x ∈R },B={(x,y)|y= x 2+ax+1, x ∈R },试求当参数a=2时的集合A 和B ；3. 已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R },求（1）若集合A 为空集，则a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并写出集合A ；（3）若集合A 中至少有一个元素，则a 的取值范围。

1.1课后作业：1.判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式320x +>的整数解的全体； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线21y x =-上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。

2.用符号∈或∉填空：（1）2______N（2______Q（3）0______{}0（4）b ______{},,a b c（5）0______*N （6）{x x <（7）{}2*3____1,x x n n =+∈N （8）(){}21,1____y y x -= （9）()(){}21,1____,x y y x -=3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是素数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合4.用适当的方法表示： （1）(x ＋1)2＝0的解集；（2）方程组⎩⎨⎧=+=-01y x y x 的解集；（3）方程3x －2y ＋1＝0的解集； （4）不等式2x －1≥0的解集； （5）奇数集；（6）被5除余1的自然数组成的集合。