第四章控制系统的频率特性本章要点本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。
内容包括频率特性的基本概念，典型环节及控制系统Bode图的绘制，用频域法对控制系统性能的分析。
用时域分析法分析系统的性能比较直观，便于人们理解和接受。
但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程，这对高阶系统来说是相当复杂的。
特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时，需反复重新计算，而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。
而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能, 而且还能分析有关参数对系统性能的影响，工程上具有很大的实用意义。
第一节频率特性的基本概念一、频率特性的定义频率特性是控制系统的又一种数学模型，它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的响应特性。
对线性系统，若输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量，如图4-1。
若设输入量为r(t)=A「sin( 3 t+ u r)其输出量为c(t)=A c sin@ t+ u c)若保持输入信号的幅值A r不变，改变输入信号的角频率3,则输出信号的角频率也变化，并且输出信号的幅值和相位也随之变化。
图4-1控制系统的频率响应我们定义系统(或环节)输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性，简称幅频M( 3 )表示。
输出量与输入量的相位差为相位频率特3变化，常用U (3 )表示。
其数学定义为M"AU ( 3 )= U c - U幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(j 3 )表示。
由此，幅频特性M( 3 )又可表示为|G(j ;i )，相频特性u (3 )又可表示为Z G(j ■)，三者可表示成下面的形式:G(j a )=|G(j m )|Z G(j s )M (co ) = G(jco) 「()二/G( j •)二、频率特性与传递函数的关系频率特性和传递函数之间存在密切关系：若系统(或元件)的传递函数为 G(s),则其频率特性为 G(j 3 )。
这就是说，只要将传递函数中的复变量 s 用纯虚数j 3代替， 就可以得到频率特性。
即G(s) > G(j ■)三、频率特性的表示方法 1 .数学式表示法频率特性是一个复数，所以它和其他复数一 |样，可以表示为极坐标式、直角坐标和指数坐标 三种形式。
见图 4-2所示。
G(j •)二 G(j J- G(j )二U (■) jVC )-M ( )e j ()显然，M=|G( j ⑷)| 2(co )+V 2®)w G(j "arcta说例4-1写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
特性，它随角频率 3变化，常用 性，简称相频特性，它也随角频率 其中 图4-2频率特性的表示方法其频率特性为1G( j ■)=j +1幅频特性为1A()= ------------------Jg )2 +1相频特性为 (■)二 G(j ，)=0 〜arcta nT ，2 •图形表示法1 )极坐标图(又称奈奎斯特图)当3从0^8变化时，G(j 3 )运动的轨迹称为极坐标图。
根据频率特性的极坐标式 G(j 3 ) = M( 3 ) Z U ( 3 )，可以算出每一个 3值所对应的幅值 M( 3 )和U ( 3 )，将它们画 在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。
2)对数频率特性对数频率特性是将频率特性表示在半对数坐标中，通常称为 Bode 图。
对数频率特性的定义为：L( 3 )=20lgM( 3 )U ( 3 )= Z G( 3 )引入对数幅频特性 L( 3 ),可以把幅频特性相乘的关系转化成对数幅频特性相加的 关系从而简化计算和方便作图。
另外，以后的分析会表明， L( 3 )或它的渐近线大多与lg 3成线性关系。
因此，若以 L( 3 )为纵轴，lg 3为横轴，则其图线为直线，这也使频率特性的计算和绘制过程大为简化。
①对数幅频特性曲线横坐标表示角频率 3 ,单位为弧度/秒(rad/s ) ，按 lg 3均匀分度，但对 3而言是不 均匀的，两者的相应关系参见图 4-3所示，频率从1到10的对数值见表4-1所示。
在 横坐标上，3每变化10倍，横坐标就变化一个单位长度， 我们以后称为一个 “10倍频 程”(记为dec )。
纵坐标表示L( 3 )，单位为分贝(dB )，均匀分度，如图4-3所示。
由于只有横坐标 为对数坐标，纵坐标不是对数坐标，所以又称为半对数坐标图。
这一点在画图时必须'VTT T 、\■、、》；要注意。
②对数相频特性曲线解：惯性环节的传递函数为G(s )\s 1横坐标表示角频率3,单位为弧度/秒 (rad/s),按lg 3均匀分度，但对3而言是不均匀的，纵坐标表示u(3 )，单位为度(°),均匀分度，如图4-4所示。
图4-3 Bode图坐标系小 /异矗卜_r—i-a-ns—s 点屛耐鬲二圈駅4筋血圈尝極系第二节典型环节的Bode图一、比例环节C(s)1 .传递函数为G(s) KR(s)二、积分环节 1 .传递函数为G(s) =—(~) —R(s) TsCj) 12 .频率特性为 G( j )=R( j®) jT«3 .对数频率特性为 L( 3 )=-20lgT 3 =-20lgT-20lg 3(dB)U ( 3 )=-904. Bode 图1) 对数幅频特性 L( 3 ) L( 3)为过点(1, 20lgK )、斜率为—20dB/dec 的一条直线。
如图4-5所示。
JOdB- 201 gK1000.11IDrad/ s90 ■①0.110rad/$-90C(j) R(j )2 •频率特性为3 .对数频率特性为L( 3 )=20lgK (dB)oU (3 ) = 04. Bode 图1) 对数幅频特性 其高度为20lgK 。
2) 对数相频特性 的水平直线。
如图G(j )L( 3 ) L( 3 )为水平直线， 如图4-4所示。
U (3 ) U (3 )为与横轴重合4-4所示。
L( 3 )上下比例环节放大倍数 K 变化，系统的 平移，但U (3 )不变。
图4-4 比例环节的Bode 图2) 对数相频特性U (3 ) U (3 )为一条—90°的水平直线。
如图 4-5所示。
90-20图4-5积分环节的Bode 图三、理想微分环节 1 .传递函数为G(s)二少=sR(s)2 .频率特性为C( i o ) G(j ) j 'Rj)3.对数频率特性为L( 3 )=20lg T 3(dB)U (3 )=90o4. Bode 图1)对数幅频特性L( 3 ) L( 3 )为过点(1, 20lg T )、斜率为20dB/dec 的一条直线。
1 Ci *0Drad/ s20dB| 03)2 )对数相频特性U (3 ) U (3 )为一条90°的水平直线。
四、惯性环节Cj) 12•频率特性为G(j •■厂Rj)阿 +13.对数频率特性为L( •) =20lg 1—20lg f —)厂1p (T 时)2 +1u (3 )=-arctanT 34. Bode 图1)对数幅频特性 L( 3 )惯性环节的对数幅频特性 L( 3 )是一条曲线，逐点描绘很繁琐，通常采用近似方法绘制，即先作出 L( 3 )的渐近线。
① 低频渐近线：指 3 T 0时的L( 3 )曲线 当3《1/T , T 3《1时90-90恥)A.10. 1 —11 n X rad/ sTJ IT1 .传递函数为G(s)二C(s) R(s)1 Ts 12CdE图4-6理想微分环节的 Bode 图L( •)二-20lg ；.(T )2 1 二-20lg1 = 0 为一条OdB的水平线。
②高频渐近线：指3 时的L( 3 )曲线当3》1/T , T 3》1时L( •)二-20 lg ,(T )2 1 = -20lgT ■为过点(1/T, 0)、斜率为-20dB/dec的一条直线。
交接频率：指高、低频渐近线交接处的频率，显然，惯性环节的交接频率为3 =1/ T。
修正量：最大误差发生在交接频率 3 =1/ T处，该处的实际值为L©)怕」=—20lg Jg)2+1 = —20lg = —3.03dB所以其最大误差约为3dB。
因此，若需精确曲线，则先在交接频率 3 =1/ T处定一个-3dB点，然后用一条光滑曲线与渐近线连接起来，就得到精确曲线。
2 )对数相频特性U(3 )也可用近似画法。
①低频渐近线：当3 0时，U ( 3 )T 0。
因此，低频渐近线为一条U ( 3尸0的水平线。
②咼频渐近线：当3^8时，U ( 3 ) T -90°。
因此，咼频渐近线为一条U ( 3 )T -90°的水平线。
③交接频率处的相位：当 3 =1/ T时，U (3 )=-arctan仁-45 °。
五、比例微分环节1 •传递函数为G(s^C^ = s 1R(s)3.对数频率特性为 L （，） =20lg .C O 2 1u （3 ）=arctan T W4. Bode 图同理，比例微分环节的对数幅频特性 L （ 3 ）和相频特性u （3 ）也是曲线，逐点描绘 很繁琐，通常也采用近似方法绘制。
因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节 只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode 图向上翻转一下即可。
如图4-8所示。
3 .对数频率特性为2 •频率特性为G(j )C(j) R(j )六、振荡环节1 .传递函数为2 .频率特性为G(j)G(s)二C(s) R(s)C(j ) R(「)(J - I j2」•20JB④ 修正量：当3 = 3 n 时，该处的实际值为L 俾)J = -20lg f (2®2 = -20lg2SB阻尼比E0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.70.80.91.0 最大误差(dB ) +14+8 +4.4 +1.9 0-1.6 -2.9 -4.1 -5.1-6.0L(・)二20lg)2 (2J(•)--arctan-14. Bode 图1)对数幅频特性 L( 3 )振荡环节的对数幅频特性 琐，通常也采用近似方法绘制，即先作出 ①低频渐近线：当3《3 n 时L( 3 )是一条曲线，逐点描绘很繁L( 3 )的渐近线。
210 2*02L( •) =-20lg (1 -2) (2 —)：-20lg1 =OdB为一条0dB 的水平线。
②高频渐近线： 当3》3 n 时Lg) = -20lg (1■ ■ 2 2 .•‘ 22)2(2 )2''n' 'n© 2尬□ —20lg(——)=-40 lg ——=—40lg ， 40lg ，n为过点(3 n , 0)、斜率为-40dB/dec 的一条直线。