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第4章 控制系统的频率特性


3. 微分环节
频率特性
G( jω) = jω = ωe
j
π
2
jv
幅频特性 A(ω) = G( jω) = ω
∞ ↑ ω ω=0 u
相频特性
φ(ω) = ∠G( jω) = 90o
0
微分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴上半轴相重合的直线,由原点指向无穷 远点。
4.一阶惯性环节 一阶惯性环节
1 频率特性 G( jω) = 1+ jTω
G ( j ω ) = G1 ( j ω ) ⋅ G 2 ( j ω ) L G n ( j ω )
开环系统幅频特性等于各典型环节幅频特性的乘积
∠G ( jω ) = ∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω ) L + ∠Gn ( jω )
开环系统相频特性等于各典型环节相频特性代数相加
Nyquist图的一般作图方法 图的一般作图方法
频域分析法:是以输入信号的频率为变量,对系统的性 频域分析法 能在频率域内进行研究的一种方法。 频率特性的定义: 正弦输入时,频率特性就是系统稳态输出量与输入量之 正弦输入时, 复数比。 复数比。 幅相频率特性(Nyquist 图) 幅相频率特性 当频率ω 从0到无穷大变化 时,向量G(j ω )的端点在 复平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线,逆时针转 过的角度为正,顺时针转过的角度为负。
1. 正弦输入时,频率特性就是系统稳态输出量 正弦输入时, 与输入量之复数比; 与输入量之复数比; 2. 非正弦、非周期输入时,频率特性是系统输 非正弦、非周期输入时, 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。
频率特性的求取
1. 已知系统微分方程,把输入信号以正弦函数代入,求 其稳态解,取输出稳态分量和输入正弦的复数比,即得 频率特性。
振荡环节的 Nyquist曲线不 仅与频率ω 有关,而且与 阻尼比ξ也有关。 ξ 越小, 幅频越大。 当ξ 小到一定程度时,幅 频将会出现峰值:
Mr = A(ωr )
ωr为谐振频率
Mr为谐振峰值
ωr = ωn 1− 2ξ
Mr = A(ω) max =
2
(ξ ≤ 0.707)
1 2 ξ ≤ 2
二 开环系统幅相频率特性的绘制
一般开环系统均由典型环节G1(s)、G2(s)、…Gn(s)串联 组成,则其传递函数为
G ( s ) = G1 ( s)G2 ( s ) L Gn ( s )
其频率特性为
G ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) L Gn ( jω )
G ( j ω ) e j∠ G ( jω ) = G1 ( j ω ) e j∠ G1 ( jω ) ⋅ G 2 ( j ω ) e j∠ G 2 ( jω ) L G n ( j ω ) e j∠ G n ( jω ) = G1 ( j ω ) L G n ( j ω ) e j ( ∠ G1 ( jω ) +L ∠ G n ( jω ))
系统稳态输出
t − eT
+
A 1+ω2T 2
sin(ωt − arctanωT )
lim x0 (t ) =
t →∞
A 1+ω2T 2
sin (ωt − arctan ωT )
定义:
A/ 1+ω2T 2 1 稳 态输 出幅 值 RC网络幅 A(ω) = = = 频特性 2 2 A 输入 值 幅 1+ω T
A(ω) = G( jω) = U 2 (ω) +V 2 (ω)
U(ω) = A(ω)cosϕ(ω)
V (ω) ϕ(ω) = arctan U(ω)
V (ω) = A(ω)sin ϕ(ω)
4.2 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性 幅相频率特性(Nyquist 图) 当频率ω 从0到无穷大变化 时,向量G(j ω )的端点在复 平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线,逆时针转过 的角度为正,顺时针转过的角度为负。 2. 对数频率特性 对数频率特性(Bode图) 由两张图组成:一张是对数幅频特性,另一张是对数相频 特性。
对数幅频特性曲线的纵坐标是按L(ω)= 20lgA(ω)均 匀分度, L(ω)称为增益,单位是分贝(dB),
幅值A(ω)每增大十倍,增益L(ω)就增加20分贝。纵 坐标是线性刻度。
对数相频纵坐标为相角φ(ω),单位是度,采用线性刻度。 优点:将低频段展宽后清晰画出, 同时可在一张图上画出频率特性的中、高频段,
4.3 频率响应的Bode图(对数坐标图 对数坐标图) 对数坐标图
幅相频率特性(Nyquist 图)的优点 优点: 优点 在一张图上把频率ω由0到无穷大区间内各个频率 的幅值和相位都表示出来。 缺点: 缺点 在幅相频率特性图上,很难看出系统是由哪些典型环节 组成的,并且绘图较麻烦。 对数频率特性能避免上述缺点,因而在工程上得到广泛 的应用。
2ξ 1−ξ 2
7. 二阶微分环节
ω jv
ω=0 0 1 u
8. 延迟环节
频率特性
G( jω) = e
A(ω) =1
− jωT
jv 1 0
幅频特性 相频特性
ω=0 ω u
φ(ω) = −ωT
延迟环节的幅相频率特性曲线是一个以坐标原点为 圆心,以1为半径的圆。 当频率取正值时,φ (ω ) 总是负值,意即曲线由(1,j0)点开 始,沿顺时针方向周而复始转动。
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 时域分析法 能比较直观 准确 直观、准确 直观
缺点是: 1. 当某些系统工作机理不明了时,数学模型难以确定, 因而无法分析系统性能。 2. 当系统的响应不能满足技术要求时,也不容易确 定应该如何调整系统来获得预期效果。
频域分析法:是以输入信号的频率为变量,对系统的性 频域分析法 能在频率域内进行研究的一种方法。 特点: 1. 不必求解系统微分方程,而采用作图法 作图法分析,有很强 作图法 的直观性,计算工作量小; 2. 由系统开环特性即可定性分析闭环响应的特点, 定量估算响应性能指标。 3. 对难以用数学模型描述的系统和元件,可用实验方法 求出系统的频率响应,从而对系统和元件进行准确而有 效的分析。 4 能较方便地分析系统参数对系统性能的影响,并进一 步提出改善系统性能的方法。
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv ω→∞ 0 -45° 0.707 ω=1/T ω ω=0 u
4.2 频率响应的Nyquist 图
典型环节的Nyquist图 一. 典型环节的 图
1. 放大环节
传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性
G (s) = K
jv K 0 u
G( jω) = K
A(ω) = G( jω) = K
4.1 频率特性
4.1频率特性的基本概念 4.1频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X0 ( s) 1 G(s) = = (T = RC) Xi ( s) Ts +1
输入信号 输出信号
xi (t ) = Asin ωt
AωT x0 (t ) = 1+ω2T 2
1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相 频特性。 2 写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。 3 分别求出ω=0和ω为无穷时的G(j ω) ω=0 ω G(j ω)。 4 求Nyquist与实轴交点,交点可用Im[G(j ω)]=0求出。 5 求Nyquist与虚轴交点,交点可用Re[G(j ω)]=0求出。 6 必要时再画出中间几点。 7 勾画大致曲线,
2 2 2
1
2
相频特性
2ξωT 1 − arctan 1−ω2T 2 ω ≤ T φ(ω) = ∠G( jω) = −π − arctan 2ξωT ω > 1 2 2 T 1− ω T
jv ω→∞ 0 ωn ωn ωn ξ=1 ξ=0.5 ξ=0.3 ω ω=0 1 u
频率特性的矢量图
jv V (ω) A(ω) φ(ω) 0 U(ω) u G(jω)
频率特性是一个复数,有三种表示: 代数式 极坐标式
G( jω) =U(ω) + jV(ω)
G( jω) = G( jω) ∠G( jω) = A(ω)∠ϕ(ω)
指数式
G( jω) = G( jω) e j∠G( jω) = A(ω)e jϕ(ω)
RC电路的这一特性,对于任何稳定的线性网络都成立 RC 虽然在前面的分析中,设定输入信号是正弦信号 设定输入信号是正弦信号,然而频 设定输入信号是正弦信号 率特性是系统的固有特性,与输入信号无关, 即当输入为非正弦信号时,系统仍然具有自身的频率特性。
当输入为非正弦周期信号时,其输入可用傅立叶级数展 成正弦波的叠加,其稳态输出为相应的正弦波叠加。 当输入为非周期信号,可将该非周期信号看作周期T趋于 无穷大的周期信号。 频率特性的定义:
φ(ω) = ∠G( jω) = 0o
2. 积分环节
频率特性
1 1 G( jω) = = e jω ω
j (− ) 2
π
jv 0
o
幅频特性 A(ω) = G( jω) = 1 相频特性
ω
u ω→∞ ω=0
φ(ω) = ∠G( jω) = −90
积分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴下半轴相重合的直线,由无穷远点指向 原点。
L(ω) (dB)
40 20 0 0.01 -20 -40 0.1 1 10 100 ω(rad/s)
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