第1章 矢 量 分 析1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？答：如果在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。

如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。

如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。

如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。

如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。

1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。

例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。

如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。

例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。

一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。

如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。

矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。

即模值为1的矢量称为单位矢量 1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。

构成的曲面，称为等值面。

例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。

描述等值面的方程称为等值面方程。

假定()z y x u ,,是坐标变量的连续可微函数。

则等值面方程可表述为 ()C z y x u =,, （c 为任意常数）在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。

描述等值线的方程称为等值线方程。

假定()y x u ,是坐标变量的连续可微函数。

则等值线方程可表述为 ()C y x u =, （c 为任意常数） 1.4求下列电场的等位线方程 (1) z x =ϕ， (2) 224y x +=ϕ 解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为⑴ xz c ==ϕ，即 z cx =； ⑵ c 422=+=y x ϕ 即 k y ==+c4x 22 （为常数k ）1.5 求下电场的等值面方程 1） 1222z y x ++=ϕ， 2） )z -z ()()x -= 202020+++y y x （ϕ， 3）)++ln(=222z y x ϕ 解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为⑴ c1222=++=z y x ϕ 即 2222c 1k z y x ==++ ⑵ c )z -z ()()x -= 202020=+++y y x （ϕ 即 22202020)()()(k c z z y y x x ==-+-+- ⑶ ()c z y x =++222ln 即 2222k e z y x c ==++，（k 为常数）1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。

在任意一个给定点所有方向上方向导数的最大值，称为该点的梯度梯度是在某一点所有方向导数的最大值；而方向导数是梯度在某一方向上的投影。

1.7求函数222z y x u ++=在点M(0,1,1) 沿22z y x e e e l ++= 方向的方向导数。

解：在求解方向导数时首先要求出标量函数对坐标轴各变量的变化率，然后求出沿l 方向的方向余弦，带入方向导数公式，即 222222222zy x z zu zy x y yuzy x x xu ++=∂∂++=∂∂++=∂∂在点M(1,0,1) 有 21021=∂∂=∂∂=∂∂z u yu xu l 的方向余弦是32cos 32cos 312211cos 222===++=αβα 由式得 2132213203121=⨯+⨯+⨯=∂∂M lu1.8求函数222z y x u ++= 在点M(0,1,1)的梯度。

解：根据梯度计算公式得zy x z u y u x u u e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 即2221021=++=∇u 1.9什么是矢量线？什么是通量？什么是散度？答：在矢量场中用一些有向曲线来描述矢量场，如果曲线上每一点的切线方向都表示该点的矢量场的方向，这些曲线称为矢量线。

在矢量场中任意矢量F 沿有向曲面S 的积分称为矢量F 通过该有向曲面S 的通量。

即 0s sF ds F n ds φ=⋅=⋅⎰⎰在矢量场F 中的任一点P 作一包围该点的任意闭合面s ，并使s 所限定的体积τ∆以任意方式趋于零时，穿出该闭合面s 的通量与 s 所限定体积τ∆比值的极限值称为矢量场F 在点P 的散度，记作divF （读作散度F ）。

即lim lim ssF ds F n ds divF ττττ∆→∆→⋅⋅==∆∆⎰⎰蜒1.10求矢量场中矢量A e e e =++x y z x y z 2 经过点M(1,2,3)的矢量线方程。

解：在矢量场中任意矢量可以表示为x x y y z z A e e e =++A A A 和矢量方程z y x A dz A dy A dx ==可得 zz yy xx 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c矢量线方程为 x y 2=，23x z = 1.11设s 是上半球面()02222≥=++z a z y x ，它的单位法线矢量0n 与oz 轴的夹角是锐角，求矢量场z e y e x e r z y x ++= 向0n 所指的一侧穿过s 的通量。

[提示：r 与0n 同指向]解：根据题意选取球坐标则矢量 r z y x ae z y x =++=e e e r ， 而球面上任意微元面积为2sin r r r ds dl dl e r d d e θϕθθϕ==u u u r，因此，根据通量定义可得 233200=sin =2r r r s s r ds ae dl dl e a d d a ππθϕφθθϕπ⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰r u u u r1.12试计算空间矢量场矢量A e e e =-+++-()()()3232322x yz y yz xyz xz x y z 的散度。

解：根据散度在直角坐标系中的表示式 zA yA xA z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A可得 xz xy z y x zA yA xA z y x 63622-+++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A1.13什么是环量？什么是旋度？答：在矢量场中任意矢量F 沿有向闭合曲线的积分称为矢量F 沿曲线的环量。

矢量场中矢量F 在某一点的旋度是一矢量，其大小是矢量F 在该点的最大环量面密度，其方向是环量面密度最大值时面元正法线单位矢量。

1.14求矢量场A e e e =-++y x c x y z (c 为常数）沿下列曲线的环量 (1)圆周x y R z 2220+==,（旋转方向与z 轴成右手关系）(2)圆周(),x y R z -+==20222（旋转方向与z 轴成右手关系） 解：设圆周包围的曲面为s ，则2R s π=，据斯托克斯定理，可得1） ()22022d 2d d d R d rdr C xyz y x Rs z s z yx s l πθπ==⋅=⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-∂∂∂∂∂∂=⋅⨯∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰s e s e e e s A l A 其中 θrdrd ds e z==⨯∇,2A2)()z s z s z yxs l e R C xyz y x 22d 2d d d π=⋅=⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-∂∂∂∂∂∂=⋅⨯∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰s e s e e e s A l A 1.15 试计算空间矢量场矢量A e e e =-+++-()()()3232322x yz y yz xyz xz x y z 的旋度： 解：由 zx y y z x x y z e yF xF e xF zF e zF yF A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇得 ()()z y x ze z yz y yz xz A 23222++--+-=⨯∇e e 1.16 试证明 (1)对于标量函数u ，有()0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇z y x z y x y x u y x u z x u z x u z y u z y u x u y u x u u e e e e e e (2) 对于矢量函数A ，有0)(222222=∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∇=⨯∇⋅∇z y A z x A y x A z y A z x A y x A y A x A z x A z A y z A y A x y A x A x A z A z A y A xy z x y z x y z x y z z x y y z x z y z e e e A第2章 静 电 场2.1什么是静电场？什么是电荷守恒定律？答：相对于观察者来说静止不动，其电量也不随时间发生变化的电荷称之为静电荷。

静电荷产生的电场称为静电场。

静电场是一种不随时间变化的电场。

宏观世界里电荷既不能被产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体上，或者从物体的一部分转移到另一部分。

2.2什么是实验电荷？什么是点电荷？什么是环量？答：在电场中一个电荷产生的电场相对于场源产生电场的影响可以忽略不记，这样的电荷称为实验电荷。

一般来说当一个带电体距离观察点的距离远远大于带电体本身的尺寸时，带电体的大小和几何尺寸可以忽略，则该带电体可近似看作一个点电荷。

2.3在宏观世界电荷是如何分布的？ 答：在宏观世界电荷是连续分布的。

但连续分布电荷的带电体，其电荷分布不一定是均匀地。

具体分布有1．电荷体分布；2．电荷面分布，3．电荷线分布。

2.4简述库仑定律答：真空中两个静止的点电荷1q 和2q 之间有相互作用力F ，其作用力的大小与两电量1q ，2q 的乘积成正比；与1q ，2q 之间距离R 的平方成反比；其作用力的方向在它们的连线方向；如果两点电荷同性则为斥力，异性为引力。