都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
∵ lim f ( x )= lim
x→0
1
x 1 e 1 x
x→0
=∞ ，
第二类间断点，且是无穷间断点 无穷间断点. ∴ x = 0 为 第二类间断点， 且是无穷间断点 .
∵ f (1 0) = lim
1
x x →1 1 e 1 x
= 0，
f (1 + 0) = lim
1
x x →1+ 1 e 1 x
上无最大值和最小值. 在 [1, 1] 上无最大值和最小值.
-1
o
-1
1
x
零点定理） 定理 6（零点定理）设 f ( x )∈C [a , b] ，且 f (a ) f (b)< 0 ， 则至少存在一点 c∈(a , b) ，使得 f (c )= 0 . ∈
y
y = f (x )
o a
c
b
x
的几何意义是： 定理 6 的几何意义是： 若连续曲线弧 y= f ( x ) 的两个端点 = 的不同侧， 至少有一个交点. 位于 x 轴 的不同侧，则这段曲线弧与 x 轴 至少有一个交点.
例 2．讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型 ．讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型.
（1） f ( x )= ） 1
x 1 e 1 x
解：间断点为 x = 0 ， x =1 ，由初等函数的连续性知 ,
f ( x ) 在 ( ∞ , 0), ( 0, 1), (1, + ∞ ) 内连续 内连续.
（2）第二类间断点
中至少有一个不存在， 若 f ( x 0 0) 和 f ( x 0 + 0 ) 中至少有一个不存在 ， 则 称 x 0
是 f ( x ) 的 第二类间断点. 其中极限为 ∞ 者 称为无穷间断点 第二类间断点 称为无穷间断点. 无穷间断点
例 1 . 讨论下列函数在指定点 处的连续性 , 并指出 间断点的类型 .
x2+ x 1 ∵ f (0+ 0)= lim = lim = 1 ， x→0 + x ( x +1)( x 1) x→0 + x 1
x2+ x 1 ∴ f (0 0)= lim = lim =1 ， x→0 x ( x +1)( x 1) x→0 + 1 x
第一类间断点，且是跳跃间断点 跳跃间断点. ∴ x = 0 为 第一类间断点 ， 且是 跳跃间断点 .
1 , x≠1 (1 x ) arctan f ( x) = 在点x = 1处连续 . 1 x 0, x=1
sin x , x<0 x （ 4） f ( x ) = ） 0 , x = 0 在 x = 0处 . 1 xsin + 1, x > 0 x
sinx 1 解：∵ f (00)= lim =1 ，f (0+0)= lim ( xsin +1)=1 ， x x→0 x x→0+
证明： ∈ 例 5．设 f ( x )∈C [a , b] ，证明： c∈[a , b] ，使 1 f (c )= [ f (a )+ f (b)] . 2 证：∵ f ( x )∈C [a , b] ，
∴ f ( x ) 在 [a , b] 上必有最小值 m 和最大值 M， ，
∵ m ≤ f ( a )≤ M ， m ≤ f ( b )≤ M ，
定理的几何意义是 的几何意义是： 介值定理的几何意义是：连续曲线弧 y= f ( x ) 与直线 = 至少有一个交点. y = 至少有一个交点.
y
M
y = f ( x)
m
o
a c1
c2
c3
b
x
内至少有一个实数根. 例 3．证明方程 x2 x 1=0 在 (0, 1) 内至少有一个实数根.
证 ： 令 f ( x ) = x 2 x 1 ， 则 f ( x )∈C [ 0 , 1] ，
∴ 必存在 x1 < x 2 ， 使得 f ( x1 )< 0, f ( x 2 )> 0 ，
而 f ( x ) ∈ C [ x 1 , x 2 ],
故由零点定理知， 故由零点定理知， c ∈( x1 , x2 ) ，使 f (c )= 0 ，
必有实根. 即方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根
1 π ∵ lim (1 x )= 0 ， arctan < ， 1 x 2 x→1
1 ∴ lim f ( x ) = lim (1 x ) arctan = 0， 1 x x →1 x →1
故 x = 1 是第一类间断点，且是可去间断点. 第一类间断点，且是可去间断点. 可去间断点
若补充定义 : f (1) = 0, 则
x→ x 0 →
有定义， 存在， ③ 虽在 点 x 0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 lim f ( x )≠ f ( x0 ) ，
x→ x 0 → x→ x 0
则 f ( x ) 在点 x0 处不连续 .
2.间断点的分类 2.间断点的分类
（1）第一类间断点
( 设 x 0 是 f ( x ) 的间断点 )
1 处无定义， 解: y = sin 在 x = 0 处无定义， x = 0 是间断点 . x
又 lim sin
x→0
1 不存在 , x
故 x = 0 是第二类间断点. 第二类间断点.
1 ( 3 ) f ( x ) = (1 x ) arctan 在点 x = 1处; 1 x
处无定义， 解： f ( x ) 在点 x =1 处无定义， x = 1 是间断点 .
= 1,
∴ x =1 为第一类间断点，且是跳跃间断点 第一类间断点，且是跳跃间断点 跳跃间断点.
x2 + x , x ≠ 0, x ≠ ±1, （2） f ( x ) = x ( x + 1)( x 1) 0, x = 0, x = ± 1.
解： x = 0 和 x = ±1 是函数 f ( x ) 的分段点 ，
①若 f (0) f (a )= 0 ，则 f (a )= f ( 2a )= f (0) ，
这时取 ξ = 0或 ξ = a , 就能使 f (ξ ) = f ( a + ξ ).
②若 f (0) f (a )≠ 0 ，则 F (0) F (a )< 0 ，
由零点定理知， 由零点定理知， ξ∈(0, a ) ，使 F (ξ )= 0 ，
推论（介值定理） 推论（介值定理）
若 f ( x )∈C[a , b] ， m = min f ( x ) , M = max f ( x ) ，
x∈[a ,b] ∈ x∈[a ,b] ∈
∈ 常数 满足 m ≤ ≤ M ,则至少存在一点 c∈[a,b] ，使
得 f (c )= .
即闭区间上的连续函数必取得介于最大值与 最小值之间的任何值. 小值之间的任何值.
x2 + x 1 ∵ lim f ( x ) = lim = lim =∞， x→ 1 x → 1 x ( x + 1)( x 1) x→ 1 x 1
第二类间断点，且是无穷间断点 无穷间断点. ∴ x =1 为第二类间断点，且是无穷间断点.
x2 + x 1 1 ∵ lim f ( x)= lim = lim = ， x→1 x→1 x ( x+1)( x1) x→1 1 x 2
f ( x ) = x 在 (1, 1) 内无最大值也无最小值. 内无最大值也无最小值.
在闭区间上有间断点， （2）如果 f ( x ) 在闭区间上有间断点，那么定理的结论 不一定成立. 不一定成立.
y
1
x +1, 1≤ x < 0, 例如： f ( x )= 0, x = 0 例如： x 1, 0< x ≤1,
即 f (ξ ) = f (a + ξ ).
证：令 f ( x)= x 3 + ax2 + bx+ c ，则 f ( x)∈ C (∞, + ∞) . 令 a b c 3 ∵ lim f ( x )= lim x (1+ + + )= ∞ ， x x2 x3 x → ∞ x → ∞ a b c 3 lim f ( x )= lim x (1+ + + )= +∞ ， x x2 x3 x→ + ∞ x→ + ∞