⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
C

B
b
b
O
a
A O
P
a
a
a
OB OA AB a + b CA OA OC a - b OP a ( R)
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ； a
C B
AG．
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1 D1 B1 C1
D
C B
A
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
解：(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 A1
D1 B1
C1
⑶AC AB1 AD1 x AC1
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
例1 已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下
列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
a c
b
b
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A D B C A1 D1 B1 C1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
D’ A’ B’
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'； 1 ⑶ AB AD CC ' 2 1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
A
C’
D B
C
例1已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'； 解：⑴AB BC AC ⑵AB AD AA' AC AA' AC CC' AC'
解：(3) AC AB1 AD1
A
D B
C
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2 AC1
x 2.
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
ka
⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
A’
D’
B’
C’
D
A B
C
例1已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量： 1 ⑶ AB AD CC ' 2
解：⑶设M是线段CC’的中点，则
1 AB AD CC ' 2
D’ C’ B’ M
AC CM
A’
AM
D A B
C
例1已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量： 1 ⑷ ( AB AD AA' )． 3
解：⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点，则
1 ( AB AD AA' ) 3 1 AC ' 3
A’
D’ B’
C’
M D A
G
D G B M
C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
1 1 (1) AB ( BC BD ) (2) AG ( AB AC ) 2 2
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
G
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示． 相等的向量：长度相等且方向相同的向量． B D
A
C
⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
b
a
a
平行四边形法则
三角形法则
⑵向量的减法 三角形法则 ⑶向量的数乘 a ka （k>0） （k<0） b a