y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1：求下列微分方程的通解
(1) y '' 4 y ' 0; (2) y '' 4 y ' 4 y 0; (3) y '' 4 y '13y 0
二、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
y '' py ' qy 0求解步骤：
(1)写出特征方程r2 pr q 0；
(2)求出特征方程的根r1, r2; (3)根据特征方程的根r1, r2的情况写出原方程的通解
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
作业：
12 8(第310页)： 1.(1)(3)(5)(7)(9)(10); 2.(2)(3)(6)
§12－8 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的解 高阶常系数齐次线性微分方程的解
一、二阶常系数齐次线性微分方程
y '' p(x) y ' q(x) y 0 -----二阶变系数齐次线性微分方程
y '' py ' qy 0 -----二阶常系数齐次线性微分方程
如何求二阶常系数齐次线性微分方程的解？
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck1 xk1 )er1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
例2：求下列微分方程的通解
(1) y(5) y(4) 0; (2) y(4) 2 y ''' 5 y '' 0; (3) y(4) 2 y '' y 0