双曲线的几何性质
教学目标
（1）了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等； （2）能根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、离心率等问题； （3）能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程； （4）掌握,,,a b c e 之间的关系及相应的几何意义．
教学重点，难点
双曲线的几个简单几何性质． 教学过程 一．问题情境 1．情境：
在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质． 2．问题：
双曲线22
221x y a b -=有哪些性质？
三．建构数学
1．范围
由双曲线方程222
21x y a b -=，可得2
21x a ≥，即x a ≥或x a ≤-．这表明双曲线在不
等式x a ≥与x a ≤-所表示的平面区域内． 思考：你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？
由双曲线方程2222
1x y a b -=可知22
220x y a b ->，即()()0x y x y a b a b +->，从而
0,0,x y a b x y a b ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩或0.0.x y
a b x y a b ⎧+<⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，
也就是以直线
b y x a =
和b
y x a =-为边界的平面区域内．
2．对称性
在双曲线的标准方程中，双曲线关于x 轴、y 轴和原点都是对称的．所以坐标
轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 3．顶点
双曲线22
221x y a b -=与x 轴的两个交点1(,0)A a -，2(,0)A a 称为双曲线的顶点．记
12(0,),(0,)B b B b -．则线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．
4．渐近线
我们已经知道，双曲线的范围在以直线
b y x a =
和b y x a =-为边界的平面区域
内，那么，从,x y 的变化趋势看，双曲线22
221x y a b -=与直线
b y x a =±具有怎样的关系？ 根据对称性，可以研究双曲线在第一象限的部分与直线
b
y x
a =
的关系．
如图，设(,)M x y 为双曲线在第一象限的点，作MN x ⊥轴，垂足为(,0)N x ．直
线MN 交直线b y x
a =
于点P ．当N 向右移动时，观察PM 长度的变化．
我们发现，随着x 的增大，PM 长度越来越接近于0．事实上，对于相同的横
坐标x ，直线
b y x a =
上对应的点P 的纵坐标为b x
a ，所以PM 长为
bx PM a =
-
2
b a ，当x 趋向于正无穷大时
，x 也趋向于正无穷大
，2b a 0．这说明，随着x 的增大，双曲线在第一象限内的点在直
线
b y x
a =
的下方且逐渐接近于这条直线．
同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线
b y x
a =
的上方且逐渐接近于这条直
线．
根据对称性，直线
b
y x
a =-也有相同的性质． 我们把这两条直线
b y x a =±叫做双曲线22
2
21x y a b -=的渐近线．
说明：（1）利用直线x a =±和y b =±所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而可以画出双曲线的草图．
（2）当双曲线的实轴长和虚轴长相等时，两条渐近线互相垂直，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线．
5．离心率：实轴长与焦距的比c
a 叫做双曲线的离心率，记为e ．
由c a =得1e >． 四．数学运用
1．例题：
例1．求双曲线22
143x y -=的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐
近线方程．
解 由题意知
224,3a b ==，所以2227c a b =+=
，解得2,a b c ===双曲线的实轴长24a =
，虚轴长2b =
(，顶点坐标
为(2,0)-，(2,0)
．离心率
2c e a =
=
．渐近线方程为2y x =±．
例2．已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4
3，求双曲
线的方程．
解 根据题意知，216c =，43c a =，解得6,8a c ==则
222643628b c a =-=-=．因为双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，所以所求双曲线方程为22
1
3628y x -=．
例3．如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且30BAO ∠=
，
1
(62ABF S ∆=-，求该双曲线的方程． 解 因为30BAO ∠=
，所以2,c b a ==．因为
11
()(622ABF S c a b ∆=
-=-，所以
22
3,9b a ==， 所求双曲线方程为22
193x y -=．
五．回顾小结：
1．根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线和离心率等问题；
2．根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程． 3．,,,a b c e 之间的关系及相应的几何意义．。