第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
(2) pij = 1. (正则性)
第三章 多维随机变量及其分布
确定联合分布列的方法
第10页
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
XY 0 1 2 3 4
0
0 0 0 0 1/16
1
0 0 0 1/4 0
2
0 0 6/16 0 0
3
0 1/4 0 0 0
4 1/16 0 0 0 0
第12页
第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第13页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
0,
x0, y0 其它
试求常数 A.
第三章 多维随机变量及其分布
第17页
解:

1 p(x,y)dxdy
Ae(2x3y)dxdy

00
Ae2xdx e3ydy
0
0
A1 2e2x0 1 3e3y0
x1
X1
第三章 多维随机变量及其分布
第6页
联合分布函数的基本性质
(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增. (单调性)
(2) 0 F(x, y) 1， (有界性) F(, y) = 0，F(x, ) =0， F(+, +) = 1.
(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性)
3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量.
同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
第三章 多维随机变量及其分布
第3页
●在研究四岁至六岁儿童的生长发育情况时，我们感兴趣的
是每个儿童（样本点）的身高X1() 和体重 X2() ，
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上
的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列.
解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为: X Y 其对应的概率分别为： 0 4 P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 1 3 P(X=1, Y=3)= C410.50.53 =1/4 2 2 P(X=2, Y=2)= C420.520.52 =6/16 3 1 P(X=3, Y=1)= C430.530.51 =1/4 4 0 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16
第8页
二维离散分布的联合分布列
称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下:
Y X
x1 x2 … xi …
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第15页
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)


p(x,y)dxdy1
(正则性)
- -
注意： P(X,Y) D p(x,y)dxdy
D
第三章 多维随机变量及其分布
第16页
例3.1.3
若 (X, Y) ～
Ae(2x3y), p(x,y)
第三章 多维随机变量及其分布
3.1.4 联合密度函数
第14页
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)， 若存在非负可积函数 p(x, y)，使得
xy
F(x,y)= p(u,v)dvdu --
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
第三章 多维随机变量及其分布
这里 (X1,X2) 一个二维随机变量。
●在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样
本点 ）的衣食住行四个方面。若用X1() ， X2() ，X3()，
X4 () 分别表示衣食住行的花费占其家庭收入的百分比，则
(X1,X2,X3,X4) 就是一个四维随机变量。
第三章 多维随机变量及其分布
=A/6
所以, A=6
第三章 多维随机变量及其分布
例3.1.4
第18页
6e(2x3y), x0,y0
若
(X,
Y)
～
p(x,y)
0,
其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
பைடு நூலகம்三章 多维随机变量及其分布
第19页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x,y)dxdy
{x2, y1}
1

2
dx
16e(2x3y)dy
0
0
6 2e2xdx 1e3ydy
0
0
{x<2, y<1}
2x
612e2x
0213e3y
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分 布
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
多维随机变量及其联合分布 边际分布与随机变量的独立性 多维随机变量函数的分布 多维随机变量的特征数 条件分布与条件期望
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
§3.1 多维随机变量及其联合分 布
第4页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2(以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
第三章 多维随机变量及其分布
X2 x2
第5页
(x1, x2)
F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
第三章 多维随机变量及其分布
第7页
3.1.3 联合分布列
二维离散随机变量
若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.
第三章 多维随机变量及其分布