山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题高三文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q I 等于A. {}1,2,3B. {}2,3C. {}1,2D. {}22.复数4312iz i+=+的虚部为 A. i B. i - C. 1- D. 13.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，，，，则12z x y =+的最大值为A.52B.72C. 3D.44.已知向量()31332a b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭r r，，，，则向量a r 与2b r 的夹角是 A.6π B.4πC. 3π D.2π5.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若244a =，且436a a +=，则5S =A. 31B. 32C. 30D. 296.程大位是明代著名的数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为 A ．120 B ．84 C ．56 D ．287.若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为A ．1B ．2C ．9D ．18 8.函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（） A ． B ． C ． D ．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13 B.23C ．1 D.4310.设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC △的面积等于10，4b =，则a 的值为 A.233B. 283 C. 263D. 25311.关于函数()cos ?223sin cos f x x x x =-，有下列命题：①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数f (x )的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④将函数f (x )的图象向左平移512π个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是 A. ①②③B. ②④ C.①③ D. ①②④12.已知函数()1ln f x m x x=+有两个零点，则实数m 的取值范围是 A ．(),e +∞B ．1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．()0,e D ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.13.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。

依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。

得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。

则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 ；三天中有两天下雨的概率的近似值为 . （第一问2分，第二问3分）14.已知函数()224,4,log ,4,xx x x f x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是 .15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0022p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆32px =交于E ，G 两点，若22EG =C 的方程是 . 16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为233，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）数列{}n a 中，112a =，1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()n N ∈，数列{}n b 满足2n n n b a =⋅*()n N ∈．（1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log na nnc =，求数列12n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =， 平面PAB ⊥平面PAC ． （1）求证：AB ⊥平面PAC ； （2）若2AC =，求三棱锥P BMC -的体积．19．（本小题满分12分）近年来，新高考改革打破文理分科的“33+”模式，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目。

选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A 省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．20.（本小题满分12分）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A ，B 均异于原点O ，且42AB =，求α的值.23.（本小题满分10分）已知()221f x x x =++-的最小值为t . （1）求t 的值；（2）若实数a ，b 满足2222a b t +=，求2214a b+的最小值.山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案与评分标准一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCBCADBABDCA二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分， 13.13,15（第一问2分，第二问3分） 14.(][),14,-∞+∞U 15.24y x =.16.16π三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（1）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-．而2nn n b a =，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=．又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)1=2nn n b n n a =+-⨯=，∴2n nna =.……………..6分 （2）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴122112(1)1n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. ∴111111111212233411n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭……………..12分18.（1）PAC ∆Q 为等边三角形，且M 为PA 的中点，CM PA ∴⊥.Q 平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，CM ⊂平面PAC ，CM ∴⊥平面PAB ，AB ⊂Q 平面PAB ，AB CM ∴⊥.平面又AB AC ⊥，CM AC C =I ，AC 、CM ⊂平面PAC ，AB ∴⊥PAC ；…………….6分（2）AB AC ⊥Q ，且2AC =，24BC AC ==，2223AB BC AC ∴=-=.又PAC ∆是边长为2的等边三角形，且M 为PA 的中点，则CM PA ⊥， 且sin 603CM PC ==o ，PMC ∆的面积为1131322PMC S PM CM ∆=⋅=⨯⨯=. 因此，三棱锥P BMC -的体积为11323133P BMC B PMC PMC V V S AB --∆==⋅=⨯⨯=.……………..12分 19．（1）∵1[110(0.0050.0150.0250.035)]0.12⨯-⨯+++=，100.0050.05⨯=， ∴此次考试物理成绩落在(80,90]，(90,100]内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的物理成绩为82分，大于80分，处于前15%，∴小明物理成绩的最后得分为70分.……………..4分 （2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89，91，92，93，93，96；赋分60分的有4035%14⨯=人，其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78，79.……………..8分（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A ，a ，b ，c ，d ，e ，小明的所有可能选法有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A a d ，(,,)A a e ，(,,)A b c ， (,,)A b d ，(,,)A b e ，(,,)A c d ，(,,)A c e ，(,,)A d e 共10种，其中包括化学的有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A a d ，(,,)A a e 共4种，∵若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：42105P ==.……………..12分20．（1）由题知，椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的半焦距为c =2，又由椭圆的定义可知212MF MF a +=，即142MF a =，∴2122b MF a a==，∴224,8b a ==∴椭圆的方程为2284x y +=1. ……………..5分（2）假设存在符合条件的点T 满足22ATF BTF ∠=∠，则x 轴为ATB ∠的角平分线，即直线AT 与BT 的斜率之和为0，设T （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），由()22282x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，可得（2k 2+1）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣8＝0， ∴2122821k x x k +=+，21228821k x x k -=+，…………….8分 由0AT BTk k +=，得1212y y x t x t+=--0， ∴()()121222k x k x x tx t--+=--0，∴()()12122240x x t x x t -+++=，解得t ＝4，即T （4， 0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，与椭圆的交点坐标分别为（22），（2，2-），显然满足k AT +k BT ＝0， ∴存在点T （4，0），满足题意.……………..12分21.(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x --'=. 令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e xϕ-'=+>，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小..……………..6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=， 此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，..……………..12分选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22.（1）由222x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得1C 的普通方程为()2224x y -+=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，又sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=..……………..5分（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，所以其极坐标方程为4cos ρθ=. 设点A ，B 的极坐标分别为(),A ρα，(),B ρα，则4cos A ρα=，4sin B ρα=， 所以4cos sin 42424A B AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即()42k k Z ππαπ-=+∈，解得()34k k Z παπ=+∈， 又0απ<<，所以34πα=..……………..10分 23.（1）31,1()2213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-⎨⎪--≤-⎩＜＜，∴f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴f （x ）min ＝f （﹣1）＝2，∴t ＝2；.……………..5分 （2）由（1）可知2a 2+2b 2＝2，则a 2+b 2＝1，∴()2222222222222214144455+2=9b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当22224=b a a b，即213a =，223b =时取等号，故2214a b +的最小值为9．.……………..10分。