函函数数的的定定义义域域、、值值域域、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性、、对对称称性性、、 反反函函数数、、伸伸缩缩平平移移变变换换、、零零点点问问题题知知识识点点大大全全一、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05江苏卷）函数y =________________________2、求函数定义域的两个难点问题 （1）知道f(x)的定义域（a ，b ），求f(g(x))的定义域：转化为解不等式a<g(x)<b ； （2）知道f(g(x)）的定义域(a ，b)，求f(x)的定义域：转化为求g(x)的值域。

例3：（1）()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2）(21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域。

例4：设2()lg2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________ 变式练习：24)2(x x f -=-，求)(x f 的定义域。

二、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。

主要是含绝对值函数例：1．（直接法）2123y x x =++2．2．()2f x = 3．（换元法）12-+-=x x y4．4. （Δ法） 432+=x xy 5. 11y 22+-=x x6. 6. (分离常数法) ①1+=x x y ②31(24)21x y x x -=-≤≤+ 7. (单调性)3([1,3])2y x x x=-∈-8.①y =，②y = (结合分子/分母有理化的数学方法)9．(图象法)232(12)y x x x =+--<≤ 10．(对号函数)82(4)y x x x=+≥ 11. (几何意义)21y x x =+--三、函数的单调性复合函数的单调性：（同增异减）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

两个函数f(x)、g(x)之间的基本性质： 增+增=增 增—减=减 减+减+减 减—增=减例：1判断函数)()(3R x x x f ∈-=的单调性。

2函数)(x f 对任意的R n m ∈,，都有1)()()(-+=+n f m f n m f ，并且当0>x 时，1)(>x f ，（1）求证：)(x f 在R 上是增函数；⑵若4)3(=f ，解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4.(高考真题)已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7四、函数的奇偶性常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 6．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系 例：1 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .2 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；3 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyx f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；4 若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _______五、函数的周期性1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。

说明：nT 也是)(x f 的周期。

（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期 对照记忆：()()f x a f x a +=-说明：f(x)的周期为2a; ()()f a x f a x +=-说明：f(x)关于直线x=a 对称。

2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a例：1 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)(2)f x f x +=-，在区间［-2,0］上单调递减，设( 1.5),(5)a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若f(2005)= .4 已知)(x f 是(-∞+∞，)上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当0≤≤x 1时，f(x)=x ，则f(7.5)=________5设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式；⑶计算：六、函数的对称性我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++= 对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

得证。

若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(cb a + 对称 （3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。

两个函数的图象对称性1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。

七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。

3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f-1(a)； （4）f-1[f(x)]=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上； （6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x 上; 例：设函数()y f x =的反函数为1()y fx -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过（A ）1(,1)2 （B ）1(1,)2（C ）(1,0) （D ）(0,1)八、函数的平移伸缩变换1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即kx f y x f y h x f y x f y k k h h +=−−−−−→−=+=−−−−−→−=><><)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）)()()()()()()()()()()()(1x f y x f y x f y x f y x fy x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x x y xy y x =−−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−−→−==−−→−=--=−−→−=-=−→−=-=−→−=-=轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴 例：1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（ ） A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) 2．作出下列函数的简图：（1）y=|log x2|； （2）y=|2x-1|； （3） y=2|x|；九、函数的零点问题1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.问题1:那么在[]2,2-上函数?问题2:函数2()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗?引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法(1).()e 2x f x x =+- 可化为2xe x =-+．画出函数xy e =和2y x =-+的图象，可观察得出C 正确.函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记) 函数()()()y F x f x g x ==-有零点方程()()()0F x f x g x =-=有实数根函数()()12,y f x y g x == 图像有交点.1.例A变式1：若函数为()lg cos f x x x =-，则有 个零点.变式2：若函数为()lg cos f x x x=-，则有 个零点.解:由()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,画出lg y x =和cos y x =的图像,可得出（3）:若关于x 的方程2a x x a =+()0>a 有两个不同的实数根,求a 的取值范围.解1:设2,y a x y x a==+,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2a x x a=+有两个不同的实数根.xa y 2=与a x y +=的图像，当1=a 时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当1<a 时只有一个交点在第二象限，当1>a 时有两个交点，解2:设211,y x y x a a==+,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即方程2a x x a=+有两个不同的实数根.只有当a x a y 112+=的斜率小于1时有两个交点，即211a <，1a >.2.利用零点性质求参数的取值范围探究：32()69f x x x x a =-++在x R ∈上有三个零点，求a 的取值范围. 解：由22()3129f x x x '=-+令()0f x '>，得3x >或x <13x <<()f x ∴在(,1)-∞，(3,)+∞(1,3)上单调递减()=(1)4f x f ∴=极大值4a >-()=(3)0f x f a =<极小值40a ∴-<<.变式1：方程32690x x x a -++=解，求a 的取值范围. 解：由方程32690x xx a -++=解，即3269x x x a -+=-11 / 11 由()3269f x x x x =-+的图像可得：04a ∴≤≤变式2：3290x ax x -+=在[]2,4上有实数解，求a 的取值范围. 解1：由3299,[2,4]x x a x x x x +==+∈，13[6,]2a ∈. 变式3：若不等式3290x ax x -+≥在[]2,4上恒成立，求a 的取值范围. 解：转化为[]9(),1,3a x x x ≤+∈恒成立问题，即[]min 9(),1,3a x x x ≤+∈得](,6a ∈-∞.课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.。