a22
a23
a24
0
0 1 a31
a32
a33
a34

a31
a32
a33
a34
1 0 0 0
AE(1,3(2))=

a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34

0 2 0

10 0
0 0
1001
A E 行变换 E A-1
即若 Pm Pm-1 P2P1 A = E ,则 Pm Pm-1 L P2 P1 = A-1, 而 Pm Pm-1 P2 P1 = A-1 ,即 Pm Pm-1 L P2 P1E = A-1,
就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成
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推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等 矩阵的乘积.
证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换 可化为单位阵E , 即存在初等矩阵 F1 ,F2 , ,Fs 使 E = Fs F2F1A
A = F1-1F2-1 L
Fs--11Fs-1E = F1-1F2-1 L
0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004 4 5 6

1
0
0


4
5
6


0
1
0

=

1
2
3

0 0 1 7 8 9 1 0 0
7 8 9
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6.3 求逆矩阵的初等变换方法
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.
证： 因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 L
3. 初等矩阵的作用
对矩阵A作初等变换可以转化为初等矩阵与矩阵A的乘积.
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定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A
的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
例如，设
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24
=
a11 + 2a13 a12 a13 a21 + 2a23 a22 a23 a31 + 2a33 a32 a33
a14 a24 a34
与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.
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0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004
思考: 计算
1
0
用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
4c3
———
1 5 -4 -1 1 -2 4 3 3 8 -4 1 1 -9 12 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换
010 0
AE(1,
2)=
a11
a21

a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
1 0 0

0 0
0 0
1 0
0 01
=
a12 a11 a13 a14 a22 a21 a23 a24 a32 a31 a33 a34
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
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6.2 初等矩阵
1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
消法矩阵
1000
1பைடு நூலகம்00
E= 0 0
1 0
0 1
0 0
r2+kr4
———
0 0
1 0
0 1
k 0
=Er(2,4(k))
0001
0001
1000
1 0 00
E=
0100 0010
c2+kc4
———
0 0
1 0
0 1
0 0
=Ec(2,4(k))
0001
0k 01
《线性代数》

a31
a32
a33
a34

对矩阵A作初等变换可以转化 为初等矩阵与矩阵A的乘积.
1 0 2 a11 a12 a13 a14 a11 + 2a31 a12 + 2a32 a13 + 2a33 a14 + 2a34
E(1,3(2))A= 0 1 0 a21 a22 a23 a24 = a21
0



4 5 6 0 1 0
0 0 1 7 8 91 0 0
解 设 1
A =4
2 5
3 6
，A左右侧矩阵
P12
0
=

1
1 0
0
0

7 8 9
0 0 1
0 0 1
P13
=

0
1
0

1 0 0
了A-1.于是有 Pm Pm-1 P2P1( A | E)
= (PmPm-1L P2P1A | PmPm-1L P2P1E)
= (E | A-1)
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若矩阵A可逆，则矩阵(A |E)可经初等行变换化为(E |A-1).
1 2 3
例1(法1). 设
A = 2
2
1 ,求 A-1.
交换第i行与第j行记为rirj . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r2r4
———
1 5 -1 -1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换
3 4 3
解：
A
E

=

1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
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2. 初等矩阵的可逆性
(1) 初等矩阵都是可逆的.
E(i, j) = -1, E(i(k )) = k 0, E( j, i(k)) = 1
（2）初等矩阵的逆矩阵仍然是同类型的初等矩阵. E(i, j)-1=E(i, j)； E(i(k))-1=E(i(k -1))； E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .
0010
0001
0100
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6.2 初等矩阵
1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
倍法矩阵
1000
1000
E=
0100
4 r3
———
与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.
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定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A
的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
例如，设
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24
第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
c3+c1
———
15 1 -2 38 1 -9
0 -1 23 21 47
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6.2 初等矩阵
1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
都是初等矩阵.P12左乘以A相当于交换A的一、二行，而P122003A相当于将的一、
二行交换了奇数次，因而
4 5 6
P122003 A
=

1
2
3 = B