上两式表明：A 经一系列初等行变换化为 E ，则 E
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
(
1)
EE131
E12 (2)E32 (1)E21 (2)E23 (3)E31 (2)E32 (1)E2 (1)E13
【注】矩阵 A 可逆的一个重要意义是 A 可以分解为初等
矩阵的乘积。这时 AB（或 AB ）相当于对 B 施行若干
次初等行（列）变换。
3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法
一 初等矩阵的概念
二 初等变换法求矩阵的逆矩阵
三 逆矩阵在解矩阵方程中的应用
一、初等矩阵的概念
1．初等矩阵 定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为
初等矩阵。
2．初等矩阵的类型
三种初等变换对应有三种初等矩阵。 （1）交换两行（或列）。Eij 表示单位矩阵交换i、j行（列）
。
An En
初等列变换
En A1
（5）用分块矩阵求逆矩阵。
三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用
设有 n 阶可逆矩阵A及 n s 矩阵 B ，满足矩阵
方程 AX B 的 X 如何快捷得到？
直接有 X A1B
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2,L , Pt ，使
Pt Pt1L P1A E ，即 Pt Pt1 L P1 A1。于是
1 0 0
1 1 1
0
1
0
r r2
r1 +r3
0
2
2
0 0 1
0 2 0
1 0 0
1
1
0
1 0 1
1 1 1
r2 r3
0
2
0
0 2 2
1 0 0
1 1 1
1 1
0 1
1 r2 r3 0
0
0
2 0
0 2
1 0 0
1
0
1
0 1 1
1 2
r2
12 r3
1 0
n 阶初等矩阵 Eij右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
可以验证，Ei (k ) 左乘矩阵 Amn ，其结果相当
i 于以数 k乘 Amn 的第 行 kri ；Ei (k ) 右乘矩阵Amn
，其结果相当于以数 k 乘 Amn 的第 i 列（ kci ）。
可逆。
例1 设
0 2 1
A
3
0
2
2 3 0
把 A 表示成初等矩阵的乘积。
解 见§3.1例3
0 2 1
1 2 0
1 2 0
Q
A
3
0
2
c1c3
2
0
3
2r1r2
0
4
3
2 3 0
0 3 2
0 3 2
1 2 0 2r2r1 1 0 2
1 0 0
1 0 0
方法有如下几种：
（1）定义法。若 AB BA E ，则 A 是可逆矩阵，且
A1 B 。
（2）利用推论1。若 AB E 或 BA E ，则 A 和
B 都可逆，并且 A1 B, B1 A
（3）公式法。若 A 0 ，则矩阵A可逆，且
A 1 1 A A
（4）初等变换法。
A , E 初等行变换 E, A 1 ，或
同样，还也验证，以 Eij (k ) 左乘矩阵 Amn 其结果相当于对 Amn 作初等行变换 kri rj ；以
Eij (k) 右乘矩阵 Amn ，其结果相当于对 Amn 作初
等列变换 kc j ci 。 综上所述，可得下述定理：
定理1 设 A 是一个 m n 阶矩阵，对 A作一
次 初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 作一次初等列变换，相当
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 ,L , Pt
使 Pt Pt1L P1A E ，即 Pt Pt1 L P1E EA1 。于是 Pt Pt1L P1A E Pt Pt1 L P1E A1
A2 E2
4 1
3
1
1
1
2c1
2
0
1 2
3
1
1
-3c1
c2
2
0
1 2
0
5
3 2
0 1
0 1
0 1
1
-15c2
2
1
2
0
0
1
1
-2c2c1
0
3
10
1 5
1 10
2 5
0
1
3 10
1 5
E A1
故
A1
1 10
2 5
3 10
1 5
n 【注】 设 A 和 B 都是 阶方阵，则求它们逆矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
3．初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列
m 用
阶初等矩阵 Eij 左乘 A
aij
，得
mn
a11 L
M
Eij
A
a j1 M
L
ai1
L
M
am1 L
a1n
M
a jn M
ain
M
amn
第i行 第j行
其结果相当于对矩阵 A施第一种初等行变换：
A 的第 i行与第 j 行对调（ ri rj ）。类似地，
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
逆矩阵。这时，对
2n n
于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。
n 【注】 这里乘以相应 阶初等矩阵的意思是：
对 A 作一次什么样的初等变换，就相当于 A
乘以对 E 作同样初等变换得到的初等矩阵。
4．初等矩阵的可逆性
因为 Eij Eij E ，Ei (k )Ei (k 1) E ，Eij (k )Eij (k ) E 所以 Eij1 Eij ，Ei (k )1 Ei (k 1) ，Eij (k)1 Eij (k) 。
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 L Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 L Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2,L , Pt，使 A P1 P2 L Pt
A 因为P1, P2 ,L , Pt 可逆，从而 P1 P2 L Pt 可逆，所以
阶矩阵
An
En
进行初等列变换，
当上半子块化为 En 时，A可逆，且下半子块就是 A1。即
An En
列初等变换
En A1
若上半子块能够化为 En 时，说明 A 可逆，否则，A 不
可逆。
【注】 在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。