几种不同的方法测杨氏弹性模量卢一鸣（05110538）（东南大学，土木工程学院，南京211189）摘要：介绍了杨氏弹性模量几种不同的测量方法，有传统的拉伸法、改进过的动力学法和方便的霍尔传感器测量法。

关键词：杨氏弹性模量；拉伸；动力学；霍尔传感器。

Several methods of measuring Young's modulusLu Yi Ming((Department of Civil Engineering,South East University ,Nanjing 05110538)Abstract:We introduce several way to measure Young's modulus.For example,stretching method, Kinetic method and Hall sensor methodKey words: Young's modulus;stretch;kinetics; Hall sensor.一、杨氏弹性模量的定义杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。

1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。

根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。

杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。

二、目前通用的测量方法测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨氏模量。

图3-1-2 测量装置图㈠ 、拉伸法⒈实验原理：本实验是测钢丝的杨氏弹性模量，实验方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施力F ，测出钢丝相应的伸长量ΔL ，即可求出Y 。

钢丝长度L 用钢卷尺测量，钢丝的横截面积42d S π=，直径d 用千分尺测出，力F 由砝码的质量求出。

在实际测量中，由于钢丝伸长量ΔL 的值很小，约mm 110-数量级。

因此ΔL 的测量采用光杠杆放大法进行测量。

光杠杆是根据几何光学原理，设计而成的一种灵敏度较高的，测量微小长度或角度变化的仪器。

它的装置如图3-1-1（a ）所示，是将一个可转动的平面镜M 固定在一个⊥形架上构成的。

图3-1-1（b ）是光杠杆放大原理图，假设开始时，镜面M 的法线正好是水平的，则从光源发出的光线与镜面法线重合，并通过反射镜M 反射到标尺n 0处。

当金属丝伸长ΔL ，光杠杆镜架后夹脚随金属丝下落ΔL ，带动M 转一θ角，镜面至M ′，法线也转过同一角度，根据光的反射定律，光线On 0和光线On 的夹角为2θ。

如果反射镜面到标尺的距离为D ，后尖脚到前两脚间连线的距离为b ，则有b L tg ∆=θ ； D n n tg 02-=θ由于θ很小，所以b L∆=θ ；D n n 02-=θ 消去θ，得()n D bDbn n L ∆=-=∆220（ nn n ∆=-0 ）（3-1-2）由于伸长量ΔL 是难测的微小长度，但当取D 远大于b 后，经光杠杆转换后的量n ∆却是较大的量，2D /b 决定了光杠杆的放大倍数。

这就是光放大原理，它已被应用在很多精密测量仪器中。

如：灵敏电流、冲击电流计、光谱仪、静电电压表等。

将（3-1-2）式代入（3-1-1）式得：n b d D FL L S FL Y ∆=∆=182π (3-1-3)本实验使钢丝伸长的力F ，是砝码作用在纲丝上的重力mg ，因此杨氏弹性模量的测量公式为：n b d mgLD Y ∆=182π (3-1-4) 式中，Δn 与m 有对应关系，如果m 是1个砝码的质量，Δn 应是荷重增（或减）1个砝码所引起的光标偏移量；如果Δn 是荷重增（或减）4个砝码所引起的光标偏移量，m 就应是4个砝码的质量⒉ 仪器调节(1)按图3-1-2安装仪器，调节支架底座螺丝，使底座水平（观察底座上的水准仪）。

(2)调节反射镜，使其镜面与托台大致垂直，再调光源的高低，使它与反射镜面等高。

(3)调节标尺铅直，调节光源透镜及标尺到镜面间的距离D ，使镜头刻线在标尺上的像清晰。

再适当调节反射镜的方向、标尺的高低，使开始测量时光线基本水平，刻线成像大致在标尺中部。

记下刻线像落在标尺上的读数为（a ） （b ）1—反射镜和透镜；2—活动托台； 3—固定托台；4—标尺；5—光源⒊ 测量（1）逐次增加砝码，每加一个砝码记下相应的标尺读数i n ，共加8次，然后再将砝码逐个取下，记录相应的读数i n ′，直到测出'0n 为止。

加减砝码时，动作要轻，防止因增减砝码时使平面反射镜后尖脚处产生微小振动而造成读数起伏较大。

（2）取同一负荷下标尺读数的平均值7210n n n n 、、，用逐差法求出钢丝荷重增减4个砝码时光标的平均偏移量Δn 。

（3）用钢卷尺测量上、下夹头间的钢丝长度L ，及反射镜到标尺的距离D 。

（4）将光杠杆反射镜架的三个足放在纸上，轻轻压一下，便得出三点的准确位置，然后在纸上将前面两足尖连起来，后足尖到这条连线的垂直距离便是b 。

（5）用千分尺测量钢丝直径d ，由于钢丝直径可能不均匀，按工程要求应在上、中、下各部进行测量。

每位置在相互垂直的方向各测一次。

传统的拉伸法有着实验条件难以保证、实验方法不够完善、实验过程不够科学、实验仪器不便调节等缺点㈡ 、动力学法测弹性模量⒈ 实验原理通过一系列动力学计算解出细长棒的弹性模量上式中m 为棒的质量，m lS ρ=；f 为圆棒的基振频率。

对于直径为D的圆棒，惯量矩4264D I z dS π==⎰⎰，代入上式得到本实验的计算公式：3241.6067l m E fD=实际测量时，由于不能满足D l ，此时上式应乘上一修正系数1T ，即32141.6067l m E f T D=1T 可根据D 的不同数值和材料的泊松比表得到。

⒉ 实验装置（1）信号发生器。

本实验用的是函数信号发生器，它能输出正弦波、方波、三角波、脉冲波等各种信号，输出信号幅度可调，频率分若干档，每档内均可连续调节。

（2）激振器。

激振器为电磁式。

包括永久磁铁、杯形铁芯、线圈、膜片和悬线等。

加永久磁铁的目的是为了使振动频率与线圈中电信号频率一致，否则将出现倍频现象。

（3）拾振器。

拾振器采用弯曲振动的压电换能器。

（4）示波器。

本实验用双踪示波器。

能同时观测两个波形的大小和频率，还能在示波器屏幕上以数字形式显示被测信号频率大小，并可达到0.01Hz 的分辨率。

（5）游标卡尺和螺旋测微计。

⒊ 实验任务（1）连接线路，阅读信号发生器及示波器的有关资料，学习调节和使用方法。

（2）测量被测样品的长度、直径及质量。

质量测量用数显电子天平。

本实验用的样品为黄铜棒。

（3）测样品的弯曲振动基频频率。

理论上，样品作基频共振时，悬点应置于节点处，即悬点应置于距棒的两端面分别为0.224l 和0.776l 处。

但是，这种情况下，棒的振动无法被激发。

欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置。

这样，又与理论条件不一致，势必产生系统误差。

故实验上采用下述方法测棒的弯曲振动基频频率：在基频节点处正负30mm 范围内同时改变两悬线位置，每隔5mm~10mm 测一次共振频率。

画出共振频率与悬线位置关系曲线。

有该图可准确求出悬线在节点位4332221.9978107.887010l S l m E fI Iρω--=⨯=⨯置的基频共振频率，其值约在几百赫兹量级。

⒋ 数据处理与作图⑴ . 测量铜棒长度和质量 209.90mm l =；49.42g m =⑵ . 测定钢丝直径测定螺旋测微计的零点d （单位为mm ）。

测量前 0 , -0.005 , -0.006 测量后 0 , -0.005 , -0.007 平均值0.004mm D =-钢丝的平均直径 5.969mm D =()5.9690.004 5.973mm D D d =-=--=利用测量值i D 与平均值D 及标准偏差公式D S =得到：D S =0.0012649mm =0.004mm ∆≈仪D 0.004195∴∆⑶ . 绘制f x -曲线（f 为黄铜棒的基频共振频根据表格所给数据，画出如下曲线：共振频率与悬线位置关系图0.22447.02mm 47mm x l ==≈∴由上图可得黄铜棒的基频共振频率： 441.05Hz f =⑷ . 计算E利用E 的计算公式： 32141.6067l m E f T D=得到：32141.6067l m E f T D=()()()()333243209.901049.4210=1.6067441.05 1.00465.97310---⨯⨯⨯⨯⨯111.12710Pa=⨯⑸ . 总不确定度计算由计算公式推导出E 的相对不确定度的公式E E ∆=实验室给出0.10Hz f ∆=，0.02mm l ∆=，0.05g m ∆=，D ∆项按上述数据处理过程所得值代入，计算出E E ∆0.0030337=111.12710Pa E =⨯11110.0030337 1.127100.003410Pa E ∴∆=⨯⨯=⨯()111.1270.00310Pa E ∴=±⨯动力学法可以测量黄铜棒的弹性模量，由于实验中利用作图方法确定基频振动频率，又利用实验方法修正系统误差，因此实验的不确定度比拉伸法要小很多，在准确度上有了很大的提高。

㈢ 、霍尔传感器测杨氏模量利用霍尔位置传感器测量微小位移，可以改进传统测量方法，使古老的实验又增添新的技术内容。

而霍尔元件及集成霍尔传感器具有尺寸小、外围电路简单、频响宽、使用寿命长，特别是抗干扰能力强等特点，近年来被广泛应用于物理量的测量、自动控制及信息处理等领域。

⑴ .实验仪器霍尔位置传感器、霍尔位置传感器输出信号测量仪、游标卡尺、螺旋测微器。

⑵ .实验原理霍尔传感器置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场的方向通入电流I ，则会产生霍尔效应，即在与这二者相互垂直的方向上将产生霍尔电势：IB K U H H = (5.2.1)其中H K 为霍尔传感器的灵敏度，单位为T mA mV ⋅。

如果保持通入霍尔元件的电流I 不变，而使其在一均匀梯度的磁场中移动，则输出的霍尔电势的变化量为：z dzdBIK U H H ∆=∆ (5.2.2) 其中：z ∆为位移量；dz dB为磁感应强度B 沿位移方向的梯度，为常数。

为了实现上述均匀梯度磁场，选用两块相同的磁铁。