2020年北京市海淀区数学高二(下)期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()()f x f x -=，当12x ≤≤时，()21x f x =-，则(2017)f =A ．−1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】通过函数关系找到函数周期，利用周期得到函数值. 【详解】由(1)(1)0f x f x ++-=，得(1)(1)f x f x +=--， 所以(2)-(1--1)-(-)f x f x f x +== ．又()()f x f x -=，所以(2)-()(4)()f x f x f x f x +=⇒+= ，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数 所以|(2017)(45041)(1)211f f f =⨯+==-= 故选C 【点睛】本题考查了函数的周期，利用函数关系找到函数周期是解题的关键.2．已知直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．92-C ．2D ．92【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，得到6340a ⨯+⨯=，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直， 则满足6340a ⨯+⨯=，解得2a =-，故选A. 【点睛】3．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭被圆3ρ=截得的弦长为（ ） A ．22 B ．2C ．25D ．23【答案】C 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标可得22x y +=和229x y +=，圆心到直线的距离2222d ==，故29425L =-=，所以应选C.考点：极坐标方程与直角坐标之间的互化．【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.本题在解答时充分利用题设条件，运用将极坐标方程转化为直角坐标方程，最后通过直角坐标中的运算公式求出弦长，从而使问题巧妙获解. 4．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】Q 23a =，12232<<，∴12a <<， Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 5．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，且()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，下②3,02π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 ③()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 在()0,π上有一个极大值点和一个极小值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】依照题意找出ω的限制条件，确定ω，得到函数()f x 的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确． 【详解】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，所以3+k 42ππωπ= 41()0,32k k Z ω=+>∈，又()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，24ππω∴≤，即2ω≤，所以23ω=或2ω=，即()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =所以总有3()02f π=，故①②正确；由()2sin3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确； 当(0,)x π∈时，()2sin3f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确； 综上，所有正确结论的编号是①②③． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力． 6．方程x = ） A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】【详解】解：x =2241(0)x y x +=…， 即221(0)14y x x +=…， 表示的曲线为椭圆的一部分； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．7．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A．4+ B1C1D【答案】C 【解析】 【分析】设P 为边1MF 的中点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，因为正三角形12MF F 的边长为2c ，所以2c a -=，进而解得答案。

【详解】因为边1MF 的中点在双曲线上，设中点为P ，则122PF PF a -=，122F F c =, 因为正三角形12MF F 的边长为2c2c a -=，整理可得1c e a === 故选C 【点睛】本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出,a c 的关系式，属于一般题。

8．复数z 满足(1)1z i i -=+，则复数z 的虚部是（ ）A ．1B ．－1 CD． 【答案】C由已知条件计算出复数z 的表达式，得到虚部 【详解】由题意可得()11z i i -=+则)11z 11222i i i i i ++====+--则复数z 的虚部是2故选C 【点睛】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单 9．已知复数23()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m = A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．4【答案】B 【解析】因为复数()23z m m mi m R =-+∈为纯虚数，230m m -=，且0m ≠ ，所以3m =，故选B.10．已知复数21iz i=+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+ B ．1i -C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．310x y -+=D ．310x y ++=【答案】B先对已知函数f(x)求导，由()'13f e =可得a 的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。

【详解】Q ()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，∴曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=. 【点睛】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a 。

12．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】A 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D 正确. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若关于x 的方程0x xe c +=有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是__________. 【答案】10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】关于x 的方程0x xe c +=有两个不相等的实数根，可转化为求-x c xe =有两个不同的解的问题，令()e x f x x =，分析()f x 的单调性和图像，从而求出c 的取值范围.【详解】引入函数()e xf x x =，则()()e1xf x x '=+，易知()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，所以()()min 11e f x f =-=-．又分析知，当0x <时，()0f x <；当0x =时，()0f x =；当0x >时，()0f x >，所以10e c -<-<，所以10ec <<．14．下列命题中①若()00f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切； ③若z C ∈(C 为复数集），且221z i +-=，则22z i --的最小值是3； ④定积分24164x dx π--=⎰.正确的有__________． 【答案】②③④ 【解析】分析：①结合极值点的概念，加以判断即可；②求出导数f′（x ），由切线的斜率等于f′（x 0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=216x -，则x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．详解：①若()00f x '=，且0x 是变号零点，则函数()y f x =在0x x =取得极值，故选项不正确； ②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切；直线5210x y -+=化为函数形式为5122y x =+，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]2cos(2)2,23f x π+∈-'=，[]52,22∉-，两者不能相切，故选项正确;③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A （﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B （2，2）的距离，连接AB 并延长，显然最小值为AB ﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令216x -x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，定积分2416x dx --表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，故定积分2416x dx --=11644ππ⨯⨯= ，故④正确．故答案为：②③④点睛：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道基础题．注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的15．将参数方程214x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）化成普通方程为__________.【答案】220x y +-=. 【解析】 【分析】在参数方程中利用加减消元法或代入消元法消去参数t ，可将参数方程化为普通方程. 【详解】由214x t y t =+⎧⎨=-⎩得2424x t y t=+⎧⎨=-⎩，两式相加得22x y +=，即220x y +-=， 因此，将参数方程214x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）化成普通方程为220x y +-=，故答案为220x y +-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，将直线的参数方程化普通方程，常见的有代入消元法和加减消元法，考查计算能力，属于基础题.16．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得1x =1x =.用类似的方法可得=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。