2017-2018学年下期期末考试 高二数学（文）试题卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数111ii-++的虚部是（ ） A. i - B. 1- C. 1i - D. 12. 用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A. ,,a b c 都是奇数 B. ,,a b c 都是偶数C. ,,a b c 中至少有两个偶数D. ,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 3. 在下列说法中，真命题的个数时（ ）①随机误差是引起预报值与真实值之间误差的原因之一； ②残差平方和越小，预报精度越高；③用相关指数来刻画回归的效果，2R 的值越接近1，说明模型的拟合效果越好； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（选修4—4：坐标系与参数方程）下列极坐标方程表示圆的是（ ） A. 1ρ= B. 2πθ=C. sin 1ρθ=D.()sin cos 1ρθθ+=（选修4—5：不等式选讲）不等式113x <+<的解集为（ ）A. ()()4,20,2--UB. ()()2,02,4-UC. ()4,0-D. ()0,25. 某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y bx a e =++（单位：亿元），其中0.8b =，2a =，0.5e ≤，如果今年该地区财政收入是10亿元，年支出预计不会超过（ ）A. 9亿元B. 9.5亿元C. 10亿元D. 10.5亿元6. 设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. abaa ab << B. aaba b a << C. baaa ab << D. baaa b a << 7. 若z C ∈且221z i +-=，则22z i --的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 8. （选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线:1x tl y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆:2cos C ρθ=，则圆心C到直线l 的距离是（ ） A. 2 B.3 C. 2 D. 1（选修4—5：不等式选讲）已知01a b <<<，下面不等式中一定成立的是（ ） A. log log 20a b b a ++> B. log log 20a b b a +-> C. log log 20a b b a ++≤ D. log log 20a b b a ++≥ 9. 下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段，女主角欲输入一个由十个数字按一定规律组成的密码，但当她果断地输入了前八个数字，欲输入最后两个数字时她犹豫了，也许是她真的忘了最后的两个数字，也许……. 请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能是（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 31 10. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 611.（选修4—4：坐标系与参数方程）若()2,1P -为圆15cos :5sin x O y θθ=+⎧⎨=⎩（02θπ≤<）的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是（ ）A. 30x y --=B. 20x y +=C. 10x y +-=D. 250x y --= （选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为三角形的三边，且222S a b c =++，P ab bc ca =++，则（ ）A. 2P S P ≤<B. 2P S P <<C. S P >D. 2S P ≥ 12. 已知()3,3,x a x af x x a x a-++≥⎧=⎨-+<⎩，()2g x x =，若关于x 的不等式()()f x g x >至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()3,3-D. 1313,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某饮料店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：C ︒）之间有下列数据：甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程：①ˆ3y x =-+；②ˆ 2.8y x =-+；③ˆ 2.6y x =-+；④ˆ 2.8y x =+，其中正确方程的序号是 .14. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 .15. ,a b R ∈，若112a b a b ++-+-≤，则a b +的取值范围为 .16. 近几年来，人工智能技术得到了迅猛发展，某公司制造了一个机器人，程序设计师设计的程序是让机器人每一秒钟前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进. 如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上前进（1步的距离为1个单位长度）. 令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且()00P =，则下列结论中正确的是 . （请将正确的序号填在横线上） ①()33P =； ②()51P =； ③()()20182019P P <； ④()()20172018P P <； ⑤()()20032018P P =.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17. 已知z 是复数，2z i +，2z i-均为实数（i 为虚数单位），且复数()2z mi +在复平面上对应的点在第一象限.（I ）求复数z ；（II ）求实数m 的取值范围.18. 随着炎热的夏天到来，在海边旅游的人们都喜欢潜水这项活动. 某潜水中心调查了200名男性与200名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，如图为其等高条形图：（I ）绘出22⨯列联表；（II ）利用独立性检验的方法，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与耳鸣有关？ 参考数据及公式：19. 选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2x a t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（I ）求直线l 和圆C 的普通方程； （II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.选修4—5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（I ）若对任意,,a b c R ∈()a c ≠，都有()a b b cf x a c-+-≤-恒成立，求x 的取值范围；（II ）解不等式()3f x x ≤.20. 证明：（I ）已知,a b 为实数，且1,1a b <<，求证：1ab a b +>+；（II ）已知,,a b c 均为实数，且1,1,1a b c <<<，求证：2abc a b c +>++. （提示：可利用第一问的结论进行证明）21. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），用直线l 和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标； （II ）求PAB ∆面积的最大值.选修4—5：不等式选讲设关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A . （I ）若1a =，求A ； （II ）若A R =，求a 的取值范围.22. 某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x （单位：万元），对年销售量y （单位：t ）和年利润z （万元）的影响，为此，该公司对近7年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,,7i =…的数据进行了初步处理，得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.其中ln i i k y =，7117i i k k ==∑.（I ）根据散点图判断，y bx a =+与21c xy c e=哪一个更适宜作为年销量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （III ）已知这种产品年利润z 与x ，y 的关系为2,50.110z e y x -=-+，当年宣传费为28万元时，年销售量及年利润的预报值分别为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i u v i n =…,其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ^^^121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑②2017-2018学年下期高二数学（文科）评分参考一、选择题：1—12 BDCAD CBCCB AB二、填空题： 13.②;14.35; 15. [0，2]; 16.①②④．三、计算题：17、解：（I ）设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ……2分 ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i.由题意得x ＝4，……4分∴z ＝4－2i. ……………5分 （II ）∴(z ＋m i)2＝(12＋4m －m 2)＋8(m －2)i. ……………6分由于(z ＋m i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴24120,8(2)0,m m m ⎧-++>⎨->⎩解得2＜m ＜6.∴实数m 的取值范围是(2,6)． ……………10分 18.解： (I)由男女生各200人及等高条形图可知耳鸣的男生有200×0.3=60人,耳鸣的女生有200×0.5=100人,所以无耳鸣的男生有200-60=140(人), 无耳鸣的女生有200-100=100(人),所以2×2列联表如下: ………4分……………6分(II)由公式计算K 2的观测值:2400(60100140100)16.667200200160240k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>10.828,……………10分所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与耳鸣有关.………12分 19（选修4－4：坐标系与参数方程）解 (I)直线l 的普通方程为2x+y －2a ＝0，……………3分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.……………6分 (II)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4. ……………9分解得－25≤a ≤2 5..……………12分 选修4-5：不等式选讲解 (1)∵|a －b |＋|b －c |≥|a －b ＋b －c |＝|a －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0取“＝”，∴|a －b |＋|b －c ||a －c |≥1，……………3分∴f (x )≤1，即|2x －1|≤1，∴－1≤2x －1≤1，∴x ∈[0，1]．……………6分(2)①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1≤3x 或②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜0，1－2x ≤3x .……………9分由①得x ≥12，由②得15≤x ＜12.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥15..……………12分20.证明：(1)左－右=ab ＋1－(a ＋b ) ……………2分＝(a －1)(b －1).……………4分∵|a |<1，|b |<1，故a －1<0，b －1<0，即(a －1)(b －1) >0.得证.……………6分 (2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，……………8分∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .………12分 21（选修4－4：坐标系与参数方程）解：(1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos(θ＋π4)，得ρ2＝22(22ρcos θ－22ρsin θ)，……………2分 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.. ……………4分∴圆心坐标为(1，－1)，∴圆心的极坐标为(2，7π4).……………6分(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0. ∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|222＋－12＝223， ………8分 ∴AB ＝2r 2－d 2＝22－89＝2103. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，……………10分∴S max ＝12×2103×523＝1059.……………12分选修4-5：不等式选讲解 (1)当x ≥12时，2x －1＋x ＋3≥2x ＋4，∴x ≥2；……………2分当－3＜x ＜12时， 1－2x ＋x ＋3≥2x ＋4，∴－3＜x ≤0；……………4分当x ≤－3时，1－2x －x －3≥2x ＋4，∴x ≤－3.综上，原不等式的解集A ＝{x |x ≤0，或x ≥2}．……………6分 (2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．……………8分 当x ＞－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，即|2x －a |≥x ＋1， 得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2，………11分综上，a 的取值范围为(－∞，－2]．……………12分 22解：（1）21c x y C e =适宜.……………………2分（2）由21c x y C e =得21ln ln ,y C x C =+令21ln ,,ln ,y k C C βα===……………………4分由图表中的数据可知3513ˆˆ,.14044βα===- ……………………6分 13ˆ.44kx ∴=- y ∴关于x 的回归方程为344.x y e-=……………………8分（3）当28x =时，由回归方程得ˆ1096.630.472333,y=÷≈，ˆ0.082333 2.810194.z=⨯-+= ……………………11分 即年宣传费为28万元时，年销售量量的预报值约为2333t ， 年利润的预报值约为194万元.……………………12分。