nljmj
eB
2 mj
eB 2
† ljm
j
sˆ z
ljm
j
d
eB 2
2l 2l
2 1
m
j
2l 2l
1
m
j
j l1 2 j l1 2
所以，当放入弱磁场中，能级由
E(0) nlj
E(0) nlj
L
2l
2l 2l
2 1
m
j
2l
m 1
j
L
eB 2
根据偶极跃迁选择定则
j l1 2 j l1 2
E(0) l
(Hˆ 1 )flfl
E(0) 1
(Hˆ 1
)11
(Hˆ 1)1f1
0
0
0
0
0
0
(Hˆ 1 )f11
E(0) 1
(Hˆ 1 )f1f1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E(0) l
(Hˆ 1)11
(Hˆ 1)1fl
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
(Hˆ 1)fl1
E(0) l
就是如此
Hˆ 0
Lˆ 2 2
Hˆ 1 d cos （ 在 z 方向）
所以
Hˆ 0 的能级
E(0) l
l(l
1) 2
2
有
2l 1
重简并。由于
[Hˆ 0,Lˆ z ] [Hˆ 1,Lˆ z ] 0
Hˆ 1
' a (0) (1) lk ' k 'k
l'
l'
k'
E(0) l
E ' a (0) k(2) l' l'l
(1) lk
' a (0) k(1) l' l'l
E(1) lk
' a (0) (1) lk ' k 'k
E (2) (0) lk lk
l'
l'
k'
以
(0) lki
标积得
(Hˆ 1
)flfl
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E(0) l
(Hˆ 1
)ll
(Hˆ 1 )fll
(Hˆ 1 )lfl
E(0) l
(Hˆ 1
)flfl
应注意
★ 新的零级波函数 (ln0)之间是正交的
((ln0),(ln0) ) nn
★ Hˆ 1在 (ln0) 子空间中是对角的
(ln0) Hˆ 1 (ln0) E(ln1)nn
lkl 1 lk'
(1) lk1 k1k
Hˆ E (0)
(0)
lk2 1 lk"
(1) lk2 k 2k
E E (1)
(1)
lk1
lk2
即
Hˆ 1 对
(0) lkl
,
(0) lk2
对角且相等
2
Hˆ 0
' a (0) k(2) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) k(1) l' l'l
2．简并能级下的一级微扰： 选定了正确的零级波函数后，对于
E(1) ln
E(1) ln
n n
所相应的波函数 (ln0)作微扰出发点，就可
以当作非简并态进行微扰处理。
现讨论
（ (ln0)
E(1) ln
E(1) ln
对所有
n n）
（
这就是
Hˆ 1在
(0) lk
子空间求得的本征态
和本征值）。于是，能量的一级微扰修正
的态，anlk(0) 可唯一地被确定，而 E(ln1) 中有相 等的 E(lm1) 的态，其零级波函数仍不能唯一地
确定。
E1(0)
(Hˆ 1)11
(Hˆ 1)1f1
(Hˆ 1)f11
E1(0) (Hˆ 1)f1f1
E(0) l
(Hˆ 1
)11
(Hˆ 1)1fl
(Hˆ 1 )fl1
l'
(0) l
Hˆ 1
(0) ln
E(0) l
E(0) l
'
l'
(0) l'
Hˆ 1
(0) ln
E( 0 ) l
E( 0 ) l'
2
（
, E(1) ln
E(1) ln
n n
）
第二十五讲
Ⅰ. 定态微扰论
D. 简并能级微扰的进一步讨论
Ⅱ. 变分法
A. 定理
B. Ritz 变分法
D. 简并能级微扰的进一步讨论
第二十四讲回顾
第九章 量子力学束缚态的近似方法 Ⅰ. 定态微扰论 B. 碱金属光谱的双线结构 和反常塞曼效应 C. 简并能级的微扰论
B. 碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应
1．碱金属光谱的双线结构
碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作
用，V(r) ，价电子的哈密顿量为
态
(
(0) lk l
,
(0) lk 2
)
的零级波函数。由这样求出
的
E(2) lki
,
(0) lki
才是正确的能量二级修正及
零级波函数。
2. 简并态可用非简并微扰处理的条件
如 Hˆ 0与 Aˆ 对易，Hˆ 1 也与 Aˆ 对易。则
可选非微扰态为 (Hˆ 0, Aˆ )的共同本征态 。
若
Hˆ 0u(lk0)
0
a(0) 3
0, a(40)
1
3．简并态的二级微扰（条件：E(ln1)
E(1) ln
）
2 方程为
n n
Hˆ 0
' a (0) n(2) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) n(1) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) (1) ln' n'n
l'
l'
n'
E(0) l
' a (0) n(2) l' l'l
(0) lk
(
' a (0) k(1) l' l'l
'
a (0) (1) lk ' k 'k
)
l'
k'
2(
' a (0) k(2) l' l'l
'
a (0) (2) lk ' k 'k
)
l'
k'
应注意二点：
ⓐ 求和 ' 不包括 k1, k 2 k'
ⓑ 显然
Hˆ E (0)
(0)
Hˆ 1
(0)
(0)
l'
l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij akj (0) 0
l'
'
(0) lk i
Hˆ 1
(0) l'
(0) l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij 0
i, j 1,2
由这解出
E(2) lki
若 E(lk21) E(lk2)2 ，则可唯一地确定简并
所以，这时每条能谱线的多重态是偶 数；多重态的能级间距随不同能级而不同 ；而光谱线也是偶数条。
C. 简并能级的微扰论
当体系的一些能级是简并时，那考虑
这些能级所受的扰动影响时，就不一定能
利用上述公式。对简并能级的微扰问题的
处理与非简并问题的处理，实质的不同在
于零级波函数的选取。即要正确选取零级
波函数。
l 1 j 0,1 m j 0,1
P1 2 — S1 2 有四条光谱线
4 3
L
(0) 1 21
2
2 3
L
2 3
L
4 3
L
1 1 22 1 1 22
11 22 11 22
P3 2 — S1 2 有六条光谱线
5 3
L
L
(0) 3 21
2
1
3 1
3
L L
L
5 3
L
1 1 22
31 22 1 1 22 11 22 3 1 22 11 22
(0) ln
Hˆ 1
(0) l'n'
V(l, l ', n)nn'
所以，如选 Hˆ 0 ，Aˆ 的共同本征态作 为零级波函数，(ln0)，则有
0l'n' Hˆ 1 0ln 0 n n （ l任意）
这时简并态
(ln0（)
n
n ）对
(0) ln
没有影
响。因此，可用非简并微扰方法处理。
例 前述刚体转子在均匀电场中处理
a(0) 1
a(0) 2
a(0) 3
a(0) 4
0
E(1) 2
3ae
2(20)
1 2
(200
210 )
a(0) 1
a(20)
a(0) 3
a(0) 4
0