图 17.1 刚塑性交界线
[ ] 4
t
t
t
22 n t (17.13)
17.2 特征线和滑移线
一、应力状态分析
n
图 17.2 摩尔 图
塑性区内任一点的应力可写成:
nx 2yx 2yc o s 2x ys in 2 O
tx 2yx 2yc o s2x ys in 2
2 y
0
xy x
y y
0
x
2(cos2
x
sin2y)0
2(sin2 cos2)0
(17.20) 双曲线方程
y
y
x
y
s2
s1
L
取活动坐标1s2，s1表示沿的L切线方向，s2为沿的L法线方向
s1
2(cos2 sin2
s1
2(sin2 cos2
) s2
)
0
0
(17.21)
O
x s2
s1
s2
17.2 特征线和滑移线
1 2
(
vx y
vy x
)
vy y
0
0
0
0
只有&x ,&y ,&xy三
个分量不为零
(17.5)
17.1 平面应变问题的基本方程
采用屈服条件与其相关连的流动法则：
刚塑性情况的—关系:
&ij &ij
(17.6)
由 & z 0 ,s z z 1 3 ( 2 z x y ) 0 ,即
z 12(xy)
有速度边界条件的求解问题：
不可压缩条件： vx vy 0 x y
(17.11)
—关系：
vx x
vy y
x y
vx vy
2 xy
y x
(17.12)
在塑性区由5个方程求5个未知量 x,y,xy,vx,vy
若采用屈服条件，在刚塑性平面应变条件下，其表 达式与屈服条件相同。
17.1 平面应变问题的基本方程
0 1 2ksin2 2kcos2
D
dx dy
0
0
0 0 dx
dy
若D≠0,则方程有唯一解。
若0,则方程没有唯一解,表明已知L线一侧导数,若无其他条件,就 不能求出L线另一侧的导数,具有这种性质的曲线叫做特征线。
x
2
1
m
nt x 2ysin2 xycos2
n1 221 22co s2
若方向为主方向
t 1 221 22cos2 (17.14)
nt
12
2
sin2
17.2 特征线和滑移线
一、应力状态分析
n
若 平 均 正 应 力 1 2 ,最 大 切 应 力 = 1 2
2
2
ncos2
t cos2 (17.15) O
17.1 平面应变问题的基本方程
理想刚塑性材料的总应变分量：
忽略弹性变形
p
ij
ij
(17.4)
流动速度场
d u
d v
d w
v x ( x ,y ) d t,v y ( x ,y ) d t,v z ( x ,y ) d t 0
应变率张量
vx
x
1 (vx vy ) 2 y x
0
&ij
(17.7)
中间主应力
x z = y z = 0 , 未 知 的 应 力 分 量 只 有 x ,y ,x y
17.1 平面应变问题的基本方程
考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：
x x
xy y
0
xy x
y y
0
(17.8)
注意到： s x x ( x y ) / 2 , s y s x , s x y x y , s z s x z s y z 0
z
O
x
在与主应力1成角的方向上：
x
y
(17.18)
xy
,c o s 2 s in 2 ,s in 2 c o s 2 4
xsin2
ysin2 (17.19)
xy
cos2
17.2 特征线和滑移线
二、滑移线
xsin2
代入
ysin2 (17.19)
xy cos2
x x
xy y
nt
sin2
图 17.2 摩尔 图
2 y
x
2
1
m
xcos2
y cos2
X方向是主应力方向
(17.16)
xy sin2
1
2
(17.17)
z
17.2 特征线和滑移线
图 17.3 微元体上的应
一、应力状态分析
y
力
1
45。
1
任一点的应力状态
2 (17.17) 由静水应力与纯剪
应力叠加而成。
J 2 1 2 ( s x 2 s y 2 s x 2 y ) s x 2 s x 2 y (x 2 y ) 2 x 2 y s 2 2(17.9)
塑性区： (xy)2 4x 2 y42 (17.10)
刚性区： (xy)2 4x 2 y42
17.1 平面应变问题的基本方程
dx dy 0
0
0 0 dx
dy
D 1 ,D 2 ,D 3 ,D 4 分 别 为 将 D 中 的 第 一 列 , 二 列 , 三 列 , 四 列
各 元 素 代 之 以 0 , 0 , d , d 之 后 形 成 的 行 列 式
17.2 特征线和滑移线
特征线方法:
1 0 2kcos2 2ksin2
在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：
允许有间断
t
t
连续
n
n
n
交界线两侧都是塑性区的情形：
(n t )2 4n t2 42 (n t )2 4n t2 42由 n n n , t n t n t , 则 有
tn2
2 2 nt
n
两侧应力间断值
特征线方法: （在平面内,线L给定了函数 、 ）
x
dx
y
dy
d
dx
dy
d
x y
x
2(cos2
x
sin2y)0
2(sin2 cos2)0 (17.20)
y
x
y
方程组的解为:
x
D1 , D y
D2 D
D3 ,
D4
x D y D
1 0 2kcos2 2ksin2
其中,D 0 1 2ksin2 2kcos2
第十七章 理想刚塑性的平面应变问题
17.1 平面应变问题的基本方程 17.2 特征线和滑移线 17.3 滑移线的性质 17.4 塑性区的边界条件 17.5 典型的滑移线场 17.6 滑移线场的数值求解 17.7 楔体的单边受压 17.8 刚性压模的冲压问题 17.9 圆形切口板条的极限拉力 17.10 板条的抽拉拉定常塑性流动问题
17.1 平面应变问题的基本方程
物体的各点位移发生在平面内：
u u ( x ,y )v v ( x ,y )w 0(17.1)
应变分量为:
x
u, x
y
v, y
z
0
xy
vu, x y
yz
zx
0
(17.2)
z 0
x
x(x,y), y y(x, z z(x,y)
y)
(17.3)
xy xy(x, y), yz zx 0