2.概率分布的性质
P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, …
(1) pk≥0， k = 1,2,… ； (2) pk 1 k 1
注 某意一：个任随机一变具量有上X述的两分个布性列质。的数列｛pk}，都有资格作为
这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！
用于验证概率函数 的正确与否。
X
01
P 1-p p
若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。 注 0-1分布中X的实质：
设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分 布.
练习：甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？
X0 1
P 0.6 0.4
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例：抛掷硬币的试验中，设事件A ={正面向上} ， P(A)= p 随机变量 X=一次抛掷中A发生的次数，则 X～0-1分布(p))
或X P
1 23456 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2 练习：书P35，例1 求分布律
5
例2 袋中有5个黑球、3个白球，每次从中取一个，不放回，
直到取到黑球为止. 求取到白球数目X的概率分布，并求P(-1<X<0)，
P(1<X<3)， P(X≤3).
=0
=P(X=2)=5/56 =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1
解：X=0，1，2，3
Байду номын сангаас
P(X=0)=
5 8
P(X=1)= 3 5 15 8 7 56
P(X=2)= 3 2 5 5 8 7 6 56
概率分布为：
P(X=3)= 3 2 1 5 1 8 7 6 5 56
X0
1
2
3
P 5/8 15/56 5/56 1/56
6
若离散型随机变量X的概率分布为：P (X= xk ) = pk ,
则 P(X I) P(X xk ) pk
x k I
x k I
k = 1, 2, …
若离散型随机变量X的概率分布为： X
x1 x2 … xi …
则：
X P( = x i ) p 1 p 2 … p i …
求 (1)P(X =1 或X =2)；(2) P ( 1 <X 5 )；15
(3)
P(
1
X
2)，P(1<X
2
2)
2
解 由题知X 的概率函数为
X
1
2
3
4
5
pk 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 则 (1)P(X =1 或X =2)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
2
1
且
k 1
P(X k)
k 1
(1)k 2
1
2
1
1
2
因此这是概率函数
练习2设随机变量X的概率函数为 P( X k) c( 2)k , k 1, 2, 3
求 c 的值
3
解 由性质知
1 P( X 1) P( X 2) P( X 3) c( 2) c( 2)2 c( 2)3
另如 1o 进行一次射击，设事件A ={击中} ， P(A)= p 随机变量X=一次射击中A发生的次数，则 X～0-1分布(p)
2o 进行一次投篮，设事件A={投中}， P(A)= p 随机变量X=一次投篮中A发生的次数，则X～0-1分布(p)
3o 从一批产品中任意抽取一个进行检验，
设事件A={废品}，P(A)= p ，
2
练习1 下面给出的是不是概率函数？
(1)P( X k) 1 ( 1 )k , k 0,1, 2, 23
解
(1)由于
(2)P( X k) ( 1 )k , k 1, 2, 2
k0
P(X k)
k0
1 (1)k 23
1 2
k0
(1)k 3
1 2
•
1
1
1
3 4
所以这不是概率函数
3
(2)由于P( X k) ( 1)k 0, k 1, 2,
P(a X b ) P( X x i ) p i
a xib
a xib
证明： ( a X b ) ( X x i ) 由概率的可加性知：
a xib
P(a X b ) P( X x i ) p i
a xib
a xib
7
练习设随机变量X的概率函数为 P( X k) k , k 1, 2, 3,4,5
对应的概率为 p 1 , p 2 , …， 称 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, … (1) 为随机变量 X 的概率分布或概率函数或 分布律.
注 （1）为了直观，概率分布表示为：
X x1 x2 … xn…
P p1
p2 … pn …
(2) (X=x1 ), (X=x2 ), … , (X=xn) ，…构成完备事件组. 1
二、 常用离散分布
1. 退化分布 若 X 的概率分布为：P ( X = a ) = 1 , a 为某一常数, 则称 X 服 从 a 处的退化分布. 此时随机变量退化成了一个常数.
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2.两点分布
若X的概率分布为：P( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0<p<1)
则称X服从参数为p的两点分布.
3
3
3
解得 c 27
38
3.会求概率分布及相关概率
例1 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X≤3) . 解：设X表示出现的点数，则 X=1，2，3，4，5，6.
P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.
所以，X的概率分布为： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.
1
(2) P ( 2
<X
5 2
)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
(3) P( 1X 2)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
P(1<X 2)= P(X=2)= 2/15
要求： 会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）；
已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一 个范围的概率；
§2.2 离散型随机变量D.r.v. 及其概率分布
一、离散型随机变量及其概率分布
对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们 关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概 率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布.
1.概率分布的定义 定义：若离散型随机变量X 所有可能的取值为 x 1 , x 2 , … ,