坐标系下平移的三种形式
黄山杨叶道
我们已经知道图形的平移与平移的方向和平移的距离有关，但平移后的图形与原图形的形状和大小是一致的，只是位置不同而已，且图形上每一点平移的方向和距离都是相同的.因此，研究图形的平移的关键是点的平移.在坐标平面内，研究点的平移十分简单，主要表现为以下三种平移.
一、沿x轴的方向平移
我们知道，当点A（4，－3）沿与x轴平行的方向向左平移5个单位时，平移后得到的点B的纵坐标不变，仍是－3，而横坐标为4－5=－1，因此，平移后点的坐标是（－1，－3）；类似地，如果点A（4，－3）沿x轴方向向右平移5个单位，则点A的纵坐标仍然不变，横坐标变为4+5=9，于是A点平移后的坐标为（9，－3）.
一般地，设点P（x，y）沿x轴方向平移n（n>0）个单位后的点是Q，则
向左平移时，点Q的坐标是（x－n，y）；
向右平移时，点Q的坐标是（x+n，y）.
这就是说：“点沿横轴方向平移时，纵坐标不变，横坐标左减右加.”
例1已知点A的坐标是（－2，3），线段AB∥x轴，且AB=2，求点B的坐标.
解析：任何两点中的一点都可以看作是由另一点平移得到的，这里的AB=2表明点A、B之间的距离是2，因此，把点A平移2个单位可得点B.注意到AB//x轴，说明点A沿x 轴方向平移2个单位可得点B，可究竟是向左还是向右平移呢？题目并无说明，因此需要一一讨论.
如果是向左平移，那么点B的坐标是（－4，3）；如果是向右平移，那么点B的坐标是（0，3）.
因此，点B的坐标是（－4，3）或（0，3）.
跟踪训练1在平面直角坐标系中，点P（－1，1）沿与x轴平行的方向向右平移2个单位后得到点P1，则点P1在【】
A.第一象限
B.第二象限
C..第三象限
D.第四象限
二、沿y轴的方向平移
与上述探索方法一样，易得如下结论：
设点P（x，y）沿y轴方向平移n（n>0）个单位后的点是Q，则
向上平移时，点Q的坐标是（x，y+n）；
向下平移时，点Q的坐标是（x，y－n）；
这就是说：“点沿纵轴方向平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减.”
例2在数学兴趣小组的一次活动中，小明通过建
立平面直角坐标系发现旗杆底端位置在点A（3，1），顶
端在点B（3，10），升旗前旗帜的三个顶点的位置分别
在点P（3，2），Q（3，3），R（5，2），写出当旗帜的
顶端Q升到杆顶B处时，点P和R对应的点的坐标.
解析：显然，旗杆平行于y轴，所以升旗时旗帜是沿y
轴方向向上平移，由于点Q从（3，3）平移到点（3，
10），平移的距离是10－3=7，所以点P（3，2）沿y轴
方向向上平移7个单位后是点P′（3，9），点R（5，2）
向上平移7个单位后是点R′（5，9）.
跟踪训练2在平面直角坐标系中，将点A（5，6）向下平移6个单位后的点的坐标是【】
A.（11，6）
B.（5，0）
C.（5，12）
D.（－1，6）
三、不沿坐标轴的方向平移
如果点的平移方向既不是沿横轴方向，也不是沿纵轴方向，那么它可以看作既沿横轴方向平移，又沿纵轴方向平移.此时，我们可以通过上述的两种平移来解决.
例3如何平移点A（－5，3），使它到达点B（2，－1）？
解析：先从横坐标来考虑，由于点A到点B，横坐标由－5增加到2，可知点A向右平移2－（－5）＝7个单位长度；纵坐标由3减小到－1，可知只需要再把点（2，3）向下平移3－（－1）＝4个单位长度.
因此，把点A向右平移7个单位，再向下平移4个单位可得点B.
跟踪训练3将点A（2，1）先向左平移（）个单位，再向下平移（）个单位可得到点（－2，－2），则括号内的数依次应填【】
A.2，1
B.0，－1
C..4，3
D.3，4
答案
1.A
2.B
3. C。