满足傅立叶变换的要求:
f (t)et 1 F ()eitd
2
F () 1 [ f (t)u(t)et ]eitdt
2
1
[
f
(t )e t
]eit
dt
2 0
令s i,则d ds F (s) f (t)est dt
i
0
f (t) 1 i f (s)est ds
2i i 6
1 e(sa)td[(s a)t] sa 0
1 sa
de(sa)t 1 e(sa)t
0
sa
0
1 sa
(Re s Re a)
13
例2 Heaviside阶跃 函数:
u(t)
1,
0,
t 0 t0
L [ f (t)] 1 est dt 1
0
s
(Re s 0)
14
例3 线性函数 f (t) = t (t > 0):
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cos t] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Re s 0)
23
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] snF (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
0+i
解 析 区 域
0-i
22
一 线性定理：与 Fourier 变换一样。
ℒ[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1F1(s) c2F2 (s)
例 ℒ [sin t] 1 ℒ [eit ] ℒ [eit ]
ℒ[est ]
1 ps
2i
(Re p Re s)
1 2i
s
1
i
s
a) t<0时，f(t)=0
b) t=0时，f(t)右侧连续，lim f (t) f (0) t 0
f (t) f (t)
t 0, f (t)为t的实变函数
0 t0
2f）(t设)，单研位究阶函跃数函为数f(，tu)(ut() t)。10
t0 t0
则原函数
5
3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换
当 f (t)et dt为有限值时，函数f (t)u(t)et 0
的下界称为收敛横标，以0 表示。
大多数函数都满足这个充分条件。
10
s 平面
0+i
o
i s
收敛横标
0-i
11
2 定理：若f(t)满足上述条件，则像函数 F(s)在半平面Res>δ上有意义，而且是一 个解析函数。
12
三 例题 例1 指数函数 eat (a为复常数)
L [eat ] e(sa)tdt 0
第六章 拉普拉斯变换
1
本章基本要求
• 理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换
• 掌握有理分式反演法
• 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理
• 理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法 求解微积分方程。
2
6.1 拉普拉斯变换的概念
3
一 Laplace 变换的定义
1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件
9
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
18
一 单位阶跃函数
二 δ(t)函数
L[ (t t0 )]
0
est
(t
t0
)dt
est0
当t0 0，L[ (t)] 1
19
三 函数tn（n>-1)的拉氏变换
L[t n ] t nest dt 0
令x st,则
L[tn ]
( x)nex 0s
dx s
1 s n1
0
xnexdx
0
sa 0
1 sa
t e(sa)t
|
0
e (sa)t
0
dt
s
1 a
0
s
1
a
e (sa)t
0
d[(s
a)t]
(s
1 a)2
e(sa)t
|
0
(s
1 a)2
(Re s Re a)
同理
L [t neat
]
(s
n! a)n1
(Re s Re a)
16
例5 求 ℒ[t f (t)]
从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普 拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt 的傅里叶变换。
7
4 Laplace变换的定义
设f(t)为定义在[0，∞）上的实变函数或复
值函数，若含 s i( ,为实数）( 0)
复变量的积分
f (t)est dt f (t)et dt为有限值
(n 1) s n1
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：
（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
பைடு நூலகம்
且满足 lim F(s) 0 s
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
15
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
2）在（-∞，+∞）上满足
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
4
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
解： dF(s) d e-st f (t)dt e-st (t) f (t)dt
ds ds 0
0
e-st t f (t)dt 0
从而 ℒ [t f (t)] (1) dF(s) ds
类推 ℒ [t n f (t)] (1)n dnF (s) ds n
17
6.2 基本函数的拉普拉斯变换
0
0
在s的某个区域内存在，则由此积分定义的
复函数
F (s) f (t)est dt 0
称为函数f(t)的Laplace变换或像函数， 记作F(s)=L[f(t)]，
8
f (t) 1 i f (s)est ds
2i i
而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数， 记作f(t)=L-[F(s)]，上式也称作黎曼-梅林 反演公式。