20
4
故Y
~
B
⎛ ⎜⎝
3,
1 4
⎞ ⎟⎠
。
于是
C P{Y = 2} =
2⎛ 3 ⎜⎝
1 4
⎞2 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
=
9 64
。
注：本例既需要掌握二项分布的由来及其概率分布，还需掌握连续型随机变
量由密度函数求其在某个区间上的取值概率。 有离散也有连续，需要区分清楚，
掌握牢固，这是容易出问题的地方。
解：(1)当 y > 0 时，
FY ( y) = P(Y
≤
y)
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
0
⎞ ⎟⎠
+
P
⎛ ⎜⎝
0
<
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
当 y < 0 时，
=
P(X
<
0) +
⎛ P⎜
⎝
X
≥
1 y
⎞ ⎟ ⎠
=
FX
(0) +1−
FX
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞ ⎟
；
⎠
FY ( y) =
P(Y
≤
X2 0
1
4
9
pk 0.1 0.3 0.3 0.3
注：对离散型随机变量，其函数的分布列的求法比较简单。只要从分布列定
义中包含的两部分：可能取值与对应概率出发，必定能求出。
另外，值得提醒的是，如果分布列中有未知参数，一定要通过分布列的性质
（一般是归一性的应用），将其求出，再进行其他计算。
例
5.设连续型随机变量 X
3
3
3
22
或
∫ ∫ ∫ P{X ≥ 1} = 3
+∞
1 f (x)dx =
3
1
1 0dx +
3
+∞ 1 e−(x−1)dx = 1 。
12
2
注：(1)的计算用到连续型随机变量分布函数的连续性，此类题目较多，例
如试确定常数 a , b, c , d 的值，使函数
⎧a , F (x) = ⎨⎪bx ln x + cx + d ,
第二章 随机变量及其分布
例 1．设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) 。 F(x) 是 X 的分
布函数，则对任意实数 a ，有
。
∫ （ A ） F (−a) = 1− aϕ(x)dx 0
（C ） F(−a) = F(a)
∫ （ B ） F (−a) = 1 − aϕ(x)dx
（ A ） f1(x) + f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。
（ B ） f1(x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。
（ C ） F1(x) + F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。
（ D ） F1(x) F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。
分析：显然这是考察随机变量的概率密度以及分布函数的性质及其构成要
以随机变量 X 的分布列为
X -1 0
1
2
3
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X 取值为-1，0，1，2，3 时，2 X −1取值为-1，0，1，3，5，从而 2 X −1的
分布列为
2 X −1 -1 0
1
3
5
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X 取值为-1，0，1，2，3 时， X 2 取值为 0，1，4，9，从而 X 2 的分布列为
例 4．已知随机变量 X 的分布列如下，求 2 X −1和 X 2 的分布列。
3
X -1 0
1
2
3
pk 2 p p
p
3p 3p
分析：显然这是离散型随机变量函数分布列的求解。 但求解前要先确定分
布列中的未知参数 p ，这可由分布列的性质（归一性）求解出来。
∞
解：由归一性，即 ∑ pk = 1，知 2 p + p + p + 3p + 3p = 1，从而得 p = 0.1。 所 k =1
，
f
2
(
x)
=
⎧1 , ⎨ ⎩0 ,
0 < x < 1, ，则对任何 其他.
1
∫ x ∈ (−∞ , + ∞) ， f1(x) f 2 (x) ≡ 0 ，
+∞ −∞
f1(x) f 2 (x)dx = 0 ≠ 1 ，因此也应否定选项 B 。
综上分析，用排除法应选 D 。
注：进一步分析可知，若令 X = max( X 1 , X 2 ) ，而 X i ~ f i (x) , i = 1, 2 ，则 X 的
⎪⎩d ,
x < 1, 0 ≤ x ≤ e,
x>e
为一连续型随机变量的分布函数。 这个问题中还要用到分布函数性质中两个重
要极限 F (+∞) = lim F (x) = 1 ， F (−∞) = lim F (x) = 0 。
x→+∞
x→−∞
若题设条件给出的是密度函数，则要注意此时应用到密度函数的性质，而且
素。
解：首先可否定选项 A 与 C ，因
∫ ∫ ∫ +∞
−∞ [ f1(x) + f 2 (x)]dx =
+∞
−∞ f1(x)dx +
+∞ −∞
f 2 (x)dx
=
2
≠1，
F1(+∞) + F2 (+∞) = 1+1 = 2 ≠ 1。
对于选项
B
，若
f1(x)
=
⎧1 , ⎨ ⎩0 ,
−
2
< x < −1, 其他；
类似的例题很多，现列举几个如下，可自行练习： 一、某种型号器件的寿命 X （小时）具有以下的概率密度
f
(
x)
=
⎧1000
⎪ ⎨
x2
,
⎪⎩ 0,
x > 1000, 其他.
现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取 5 只，问其中至少有
为随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数，也应满足性质(3)。 由关系 a − b = 1即可验证 只有选项 A 满足。
例 3．设连续型随机变量 X 的分布函数为
⎧ Aex ,
F
(x)
=
⎪ ⎨
B,
⎪⎩1 − Ae−(x−1) ,
x<0 0≤ x <1
x ≥1
求：(1) A ， B 的值；(2) X 的密度函数；(3) P{X ≥ 1}。 3
20 （ D ） F(−a) = 2F(a) −1
分析：利用分布函数、密度函数的性质，以及分布函数与密度函数的关系
解决问题。
∫ ∫ ∫ 解： F(−a) =
−
a
ϕ
(
x)dx
令x = − t
=
−
a ϕ(t)dt =
+∞ϕ(x)dx ，
−∞
+∞
a
∫ 而 +∞ϕ(x)dx = 1，所以 −∞
∫ ∫ ∫ ∫ 1 = −aϕ(x)dx + 0 ϕ(x)dx + aϕ(x)dx + +∞ϕ(x)dx
∫ 大部分题目用到其归一性，即 +∞ f (x)dx = 1。 −∞ 分布函数与概率分布之间有一一对应的关系，因此可以通过研究分布函数来
研究各种概率分布。 掌握分布函数的概念和性质，一般要学会做下列三类习题： ① 利用某些已知条件求出随机变量的分布列或密度函数； ② 利用分布列或分布函数，求出某些事件的概率； ③ 利用分布列或密度函数，求出分布函数。
x)
=
⎧1 ⎪⎨π
,
⎪⎩ 0,
x
∈
⎡⎢⎣−
π 2
,
π 2
⎤ ⎥⎦
其他.
4
y = tan x 的反函数为 x = arctan y ，且
x′y
=
1 1+ y2
，从而由定理
2-4
得Y
的概
率密度为：
fY ( y) =
fX (h( y)) h′( y)
=1 1 π 1+ y2
=
π
1 (1+
y2
)
,
−∞ <
在区间
⎡⎢⎣−
π 2
,
π 2
⎤ ⎥⎦
上服
从均
匀分布
，随
机变
量
Y = tan X ，求Y 的概率密度。
分析：本例考查的是连续型随机变量函数的概率密度的计算，给出的函数是
正切函数，显然是处处可导、严格单调的函数，符合定理 2-4 的条件，从而应用
定理即可求出。
解：由题设知随机变量 X 的概率密度为
f
X
(
F (x) = aF1(x) − bF2 (x) 是某一随机变量的分布函数，则下列给定的各组数值中应
取
。
（ A ）a = 3 , b = − 2 （ B ）a = 2 , b = 2 （ C ）a = − 1 , b = 3 （ D ）a = 3 , b = 2
5
5
33
22
55
此例显然要考察的是作为某个随机变量的分布函数 F(x) 需要满足的性质，
以Y
表示对
X
的三
次独立重复观察中事件{X < 1}出现的次数，则 P{Y = 2}=