第11讲与圆有关的位置关系知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。
本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。
知识梳理讲解用时：25分钟与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：⊙点P在圆外⊙ｄ＞r⊙点P在圆上⊙d=r⊙点P在圆内⊙ｄ＜r注意：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
（2）直线与圆的位置关系直线和圆的3种位置关系：⊙相离：一条直线和圆没有公共点；⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点；⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线；判断直线和圆的位置关系：⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r（3）圆与圆的位置关系⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部；⊙相交：两个圆有两个公共点；⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。
判断圆和圆的位置关系：⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r；⊙两圆外切⊙d=R+r；⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）；⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）；⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）．切线的性质与判定（1）切线的性质⊙圆的切线垂直于经过切点的半径；⊙经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；⊙经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：⊙直线过圆心；⊙直线过切点；⊙直线与圆的切线垂直。
（2）切线的判定切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
注意：⊙切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线；⊙切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的；⊙在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
切线长定理（1）圆的切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；（2）切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
三角形外接圆与内切圆（1）三角形的外接圆与外心外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
概念说明：⊙“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点；⊙锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部；⊙找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
（2）三角形的内切圆与内心内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点。
概念说明：⊙任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形；⊙三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角。
课堂精讲精练【例题1】到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）。
A ．圆的外部B ．圆的内部C ．圆D ．圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D ．讲解用时：3分钟解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决。
教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：盱眙县校级月考年份：2016秋【练习1】已知Rt ⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=7，CD ⊙AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙Ｄ，使得点A 在⊙Ｄ外，且点B 在⊙Ｄ内，设⊙Ｄ的半径为r ，那么r 的取值范围是。
【答案】4947r【解析】本题考查的是点与圆的位置关系，⊙Rt ⊙ABC 中，⊙ACB=90，AC=3，BC=7，⊙AB=4)7(322，⊙CD ⊙AB ，⊙CD=473，⊙AD?BD=CD 2，设AD=x ，BD=4﹣x ．解得49x ，⊙点A 在圆外，点B 在圆内，r 的范围是4947r.讲解用时：5分钟解题思路：先根据勾股定理求出AB 的长，进而得出CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论。
教学建议：熟知点与圆的三种位置关系。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：普陀区一模年份：2018【例题2】已知l 1//l 2，l 1、l 2之间的距离是3cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1cm ，如果圆O 与直线l 1、l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为cm 。
【答案】2或4【解析】本题考查直线和圆的位置关系，如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r ﹣1=3，得r=4，如图所示，r+1=3，得r=2，故答案为：2或4．讲解用时：4分钟解题思路：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题。
教学建议：利用数形结合的思想解答。
难度：3适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区二模年份：2018【练习2】在△ABC 中，∠C=90°，AC = 5，BC = 12，若以C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是___________。
【答案】13600R或R>12【解析】本题考查直线和圆的位置关系以及勾股定理，圆心C 到斜边AB 的距离1360d ，⊙当圆C 与AB 相离时，13600R，当边AB 所有点都在圆内部时，R>12，综上，1360R或R>12．讲解用时：4分钟解题思路：先求出圆心C 到斜边AB 的距离1360d ，则当圆C 与AB 相离时，1360R，当边AB 所有点都在圆内部时，R>12。
教学建议：注意分类讨论。
难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如果两圆的半径之比为3：2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d 的取值范围是。
【答案】3＜d ＜15【解析】本题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，设两圆半径分别为3x ，2x ，由题意，得3x ﹣2x=3，解得x=3，则两圆半径分别为9，6，所以当这两圆相交时，圆心距d 的取值范围是9﹣6＜d ＜9+6，即3＜d ＜15．讲解用时：3分钟解题思路：先根据比例式设两圆半径分别为3x 、2x ，根据内切时圆心距列出等式求出半径，然后利用相交时圆心距与半径的关系求解。
教学建议：熟知圆与圆的五种位置关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：金山区二模年份：2018【练习3】如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，⊙Ｂ的半径为1，已知⊙Ａ与直线BC相交，且与⊙Ｂ没有公共点，那么⊙Ａ的半径可以是（）。
A．4 B．5C．6D．7【答案】D【解析】本题考查了圆与圆的位置关系以及勾股定理，⊙Rt⊙ABC中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，⊙由勾股定理得AB=5，⊙⊙Ａ、⊙Ｂ没有公共点，⊙⊙Ａ与⊙Ｂ外离或内含，⊙⊙Ｂ的半径为1，⊙若外离，则⊙Ａ半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1=4，若内含，则⊙Ａ半径r的取值范围为r＞1+5=6，⊙⊙Ａ半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6，故选：D．讲解用时：5分钟解题思路：由Rt⊙ABC中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，利用勾股定理即可求得AB 的长，又由⊙Ａ、⊙Ｂ没有公共点，可得⊙Ａ与⊙Ｂ外离或内含，然后利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系求得答案。
教学建议：熟练掌握两圆的位置关系。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2018【例题4】如图，PA、PB切⊙Ｏ于点A、B，PA=4，⊙APB=60°，点E在上，且CD切⊙Ｏ于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是。
8【答案】3【解析】本题主要考查了切线长定理及等边三角形的性质与判断，当CD//AB时，切线CD的长最小，由切线长定理，得PA=PB=4，AC=CE，ED=DB，⊙Ｌ⊙CDP =PC+PD+CD =PC+CE+PD+DE =PC+CA+PD+DB =PA+PB=8，⊙⊙APB=60°，PA=PB ，⊙⊙PAB 是等边三角形，⊙⊙PAB=60°，因为CD//AB ，⊙⊙PCD=⊙PAB=60°，⊙⊙PCD 是等边三角形，⊙CD=38讲解用时：7分钟解题思路：首先判断在什么情况下CD 最短．利用切线长定理，说明⊙PCD 是等边三角形，求⊙PCD 的周长并得结论。
教学建议：熟练利用切线长定理解答。
难度：4适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2018【练习4】如图⊙BAC=60°，半径长1的⊙Ｏ与⊙BAC 的两边相切，P 为⊙Ｏ上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙Ｐ交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为。
【答案】33【解析】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接AO 并延长，与ED 交于F 点，与圆O 交于P 点，此时线段ED 最大，连接OM ，PD ，可得F 为ED 的中点，⊙⊙BAC=60°，AE=AD ，⊙⊙AED 为等边三角形，⊙AF 为角平分线，即⊙FAD=30°，在Rt ⊙AOM 中，OM=1，⊙OAM=30°，⊙OA=2，⊙PD=PA=AO+OP=3，在Rt ⊙PDF 中，⊙FDP=30°，PD=3，⊙PF=23，根据勾股定理得：FD=233，则DE=2FD=33．讲解用时：8分钟解题思路：连接AO 并延长，与圆O 交于P 点，当AF 垂直于ED 时，线段DE 长最大，设圆O 与AB 相切于点M ，连接OM ，PD ，由对称性得到AF 为角平分线，得到⊙FAD 为30度，根据切线的性质得到OM 垂直于AD ，在直角三角形AOM 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO 的长，由AO+OP求出AP 的长，即为圆P 的半径，由三角形AED 为等边三角形，得到DP 为角平分线，在直角三角形PFD 中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF 的长，再利用勾股定理求出FD 的长，由DE=2FD 求出DE 的长，即为DE 的最大值。