L⎢⎣⎡e −2t cos(5t
−
π 3
)⎥⎦⎤
=
⎧ L⎨e
⎩
−2t
cos⎢⎣⎡5(t
−
π 15
)⎥⎦⎤⎭⎬⎫
( ) =
⎧
π -s
⎨e 15
⎩
s2
s +
52
⎫ ⎬ ⎭s→s+2
− π (s+2)
= e 15 ⋅
s+2 s + 2 2 + 52
（5）终值定理（极限确实存在时）
lim f (t) = f (∞) = lim s ⋅ F(s)
( ) L :
s2
+
2s
+
2
L(s)
=
2U a
(s)
=
2 s
L(s)
=
(s s2
2 + 2s
+
2)
L−1 : l(t) = L-1[L(s)]
复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数
s = σ + jω
复函数 F(s) = Fx + jFy
例： F(s) = s + 2 = σ + 2 + jω
ss
s
虚位移定理： [L eat ⋅ f (t)] = F(s - a)
（证略）
z 例 6：求 L[eat ]
[ ] [ ] 解 : L eat = L 1(t)⋅ eat = 1 s−a
[ ] z
例
7： L e-3t
⋅ cos5t
=
s2
s + 52
s→s+3
=
s+3
(s + 3)2 + 52
z
例
8：
[ ] ∴ f (t) = 1 1 − e−at a
微分方程一般形式：
C(n) + a1C(n-1) + L + a n-1C′ + C = b0r(m) + b1r(m-1) + L + bm-1r′ + bmr
L : (设初条件为0)
[ ] [ ] sn + a1sn-1 + a2sn-2 +L+ a n-1s + an C(s) = b0sm + b1sm−1 +L+ bm-1s + bm R(s)
=
1⎡ 2j ⎢⎣s
−1 − jω
e−(s− jω)t
∞ 0
−
s
−1 + jω
e−(s+ jω )t
∞⎤ 0 ⎥⎦
=
1 2j
⎡ ⎢⎣ s
1 − jω
−
s
1 + jω
⎤ ⎥ ⎦
= 1 ⋅ 2jω = ω 2j s2 + ω 2 s2 + ω 2
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质： L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1(s) + bF2 (s)
( ) 1).F(s) = 2s2 − 5s +1 s s2 +1
f(t) = 1+ cost-5sint
2).F(s)
=
s2
+
s 8s
+ 17
3).F(s)
=
s3
+
21s2
1 + 120s
+
100
4).F(s)
=
s
(s
3s2
+ 2)
+ 2s + 8 (s2 + 2s
+
4)
f(t) = 17e−4tcos(t +14o )
0
= sF(s) − f (0)
=右
进一步：L ⎡⎣f (n) ( t )⎤⎦ = snF(s) − sn-1f (0) − sn-2f ′(0) −L− sf (n-2) (0) − f (n−1) (0)
[ ] 零初始条件下有： L f (n)(t) = sn ⋅ F(s)
z 例 1：求 L[δ (t)]
t=0
=
1 s3
（4）位移定理
实位移定理： L[f (t -τ )] = e−τs ⋅ F(s)
⎧0 t < 0
z 例 5： f (t) = ⎪⎨1 0 < t < 1
⎪⎩0 t > 0
求F(s)
解： f (t) = 1(t) −1(t − 1)
( ) ∴ F(s) = 1 − 1 ⋅ e−s = 1 1 − e−s
第二章：控制系统的数学模型
§2.1 引言
·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达
式。
·建模方法
⎧机理分析法 ⎩⎨实验法（辩识法）
·本章所讲的模型形式
⎧时域：微分方程 ⎩⎨复域：传递函数
§2.2 控制系统时域数学模型
1、 线性元部件、系统微分方程的建立
（1）L-R-C 网络
ur
（2）复数模、相角
F(s) = Fx2 + Fy2 ∠F(s) = arctg Fy
Fx
（3）复数的共轭
F(s) = Fx − jFy
（4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。
2 拉氏变换定义
F(s)
=
L[f
(t
)]
=
∫∞
0
f
(t
)
⋅
e
−st
dt
3 几种常见函数的拉氏变换
∫ (1) 反变换公式： f (t) = 1
σ
+
j∞
F(s).e
st
ds
2πj σ − j∞
(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)
例1.F(s) = 1 ,求f(t) s(s + a)
解.F(s)
=
1 a
(s + s(s
a) - s + a)
=
1 a
⎡1 ⎢⎣ s
−
s
1 +
a
⎤ ⎥⎦
y(α ) = E0cosα
解：在α = α 处线性化展开，只取线性项： 0 y(α ) = y(α0 ) + E0 (− sinα0 )(α − α0 )
令 Δy = y(α )- y(α0 )
Δα = α − α 0
得 Δy = −E0sinα 0 ⋅ Δα
3、 用拉氏变换解微分方程
&l& + 2l& + 2l = 2ua （初条件为 0）
z 例 3：求 L[t]=?
解：Q t = ∫1(t)dt
[ ] ∴ L[t] = L ∫1(t)dt
=
1 s
⋅
1 s
+
1 s
t
t=0
=
1 s2
z
例
4：求
⎡ L⎢
⎣
t2 2
⎤ ⎥ ⎦
解：Q t 2
2
=
∫ tdt
[∫ ] ∴
⎡ L⎢
⎣
t2 2
⎤ ⎥ ⎦
=
L
tdt
=1⋅ 1 s s2
+ 1⋅ t2 s2
0
0
[ ] =
−1 s−a
e −(s−a ) t
∞ 0
=
− 1 (0 − 1) = s−a
1 s−a
3.
正弦函数：
f
(t)
=
⎧0 ⎩⎨sinωt
t <0 t≥0
∞
L[f (t)] = ∫ sinωt ⋅ e−stdt
0
∫ [ ] ∞
=
1
e jωt − e− jωt
⋅ e−stdt
0 2j
∫ [ ] = ∞ 1 e-(s- jω)t − e−(s+ jω)t dt 0 2j
t→∞
s→0
∞
证明：由微分定理 ∫ f ′(t)e−stdt = sF(s) − f (0)
0
∞
∫ 取极限： lim f ′(t)e−stdt = limsF(s) − f (0)
s→0
s→0
0
[ ] ∞
∞
∫ ∫ 左 = f ′(t) lime−st dt = f ′(t)⋅1⋅ dt = f (t) ∞
≠
lim
s→0
s
s2
ω + ω2
=
0
拉氏变换附加作业 一． 已知 f(t),求 F(s)=?
1 -t
1).f(t) = 1-e T
1
F(s)
=
1− s
1 s+ 1
T
=
T
s
⎛ ⎜⎝
s
+
1 T
⎞ ⎟⎠
2).f (t) = 0.03(1− cos2t)
( ) F(s)
=
0.03
⎡1 ⎢⎣ s
−
s2
s +
22
+ c2 s − p2
+ c3 s − p3
+
L
+
s→0
0
0
0
= f (∞) − f (0) = 右 = limsF(s) − f (0)
s→0
∴有： f (∞) = lim sF(s) 证毕 s→0
z
例
9：
F(s)