S R1(s) -r1(0) +2R1(s)- R2(s)=1/S (1)
- R1(s)+S R2(s)- r2(0)+2 R2(s)=0 (2) 联立（1）和（2）求解得
R1(s)=2/(3S)+1/(S+1)+1/[3(S+3)] R2(s)=1/(3S)+1/(S+1)-1/[3(S+3)] 所以：r1(t)=(2/3)u(t)+e-tu(t)+(1/3)e-3tu(t) r2(t)=(1/3)u(t)+e-tu(t)-(1/3)e-3tu(t) 即为所求。
阶跃响应
gt y2t yzi t et ut
则
y3t yzi t gt 1 gt 3 2et ut et1 ut 1 et3 ut 3
例4-5
2Ω 1H
电路如图4-5（a）所示
e t
iL 0
1F
vC t
（1）求系统的冲激响应。
4-5(a)
（2）求系统的起始状态 iL 0 、vC 0 , 使系统的零输
0
因而
f3t
t δ xd
0
x
f30
t δ xd x
0
F2 s
1 s
F δ
t
1 s
f20
3 s
F3 s
1 s
F δ
t
1 s
f3 0
1 s
这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知
L f1t sFs 0 3
则F1 s
3 s
L f2t sFs 2 1
Hale Waihona Puke 则F2s3 s
f3
R(s)=[2/（S+1）-3/（S+2）+1/（S+3）]
所以，rzs(t)=(2e-t-3e-2t+e-3t)u(t) ③ 全响应r(t)=rzs(t)+rzi(t)=(2e-t+4e-2t-4e3t)u(t)
从而求得系统的起始状态
vC 0 1 iL 0 0
例4-6
用拉普拉斯变换分析法求下列系统 的响应r1(t)和r2(t)。已知r1(0)=2， r2(0)=1，e(t)= u(t)。
dr1 (t) dt
2r1 (t)
r2
(t)
e(t)
r1 (t)
dr2 (t) dt
2r2
(t)
0
解：对方程组求拉氏变换，有：
入响应等于冲激响应。
（3）求系统的起始状态，使系统对 ut的激励时的完 全响应仍为ut 。
（1）求系统的冲激响应。
系统冲激响应ht 与系统函数H s是一对拉氏变换的关系。
对H s求逆变换可求得ht ，这种方法比在时域求解微分方
程简便。
利用s域模型图4-5（b）可直写出图4-5（a）电路的系
统函数
1
方法一：按定义式求解 方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解
方法一： 按定义式求解
F s f testd t 0
1 t estd t 2 2 t estd t
0
1
1
t 1 est 1 1 estd t 2 1 estd t 2 t estd t
F
s
L
t
t
1
L
t
1
t
1
t
1
1 s2
1 s
e
s
例4-2
求三角脉冲函数 f t如图4-2（a）所示的象函数
t
f t 2 t
0
f t
0t1
1 t 2
1
其他
o
1
2t
4-2（a）
和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基 本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变 换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法 求解。
例4-7 已知某LTI系统的系统函数为
H(S) S 5 S2 5S 6
初始条件为r(0)=2，r’(0)=1，求输入 e(t)=e-tu(t)时的全响应。
解：H(S) S 5 S 5 S2 5S 6 (S 2)(S 3)
① 设：rzi(t)=c1e-2t+c2e-3t，代入初始条件得： c1=7，c2=-5 所以，rzi(t)=(7e-2t-5e-3t)u(t) ②E(s)=1/(S+1)， R(s)=H(s)E(s)=(S+5)/[(S+1)(S+2)(S+3)]
2
图4-2（b）
显然
d2 f t
L
dt2
Lδ t 2δ t
1δ t
2
1 es
2
根据微分性质
L
d2 f dt
t
2
s2F
s
f 0
sf
0
由图4-2（b）可以看出
f 0 0, f 0 0
于是
s2Fs 1 es 2
Fs
1 s2
1 es
2
方法四：利用卷积性质求解
由图4-5(b)可以写出
Vos
E s
1 s vC 0 2s
1
iL
0
11 s s vC 0
s
Es s 2vC0 iL 0
s2 2s 1
s2 2s 1
1
零状态响应 零输入响应
上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入
响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和 H相s等，
拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书
以 Fs表示 f t 单边拉氏变换,以 FB s表示 f t 双边拉氏
变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏 变换只研究 t 0 的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有 一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。 本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移 定理的正确应用。
y3 t 。
x3 t
1
o 123 t
y1t yzi t yzs t yzi t ht
y2
t
yzi
t
y(1) zs
t
yzi
t
h ( 1)
t
yzi
t
gt
y1t y2t ht h(1) t t 2et
Hs 1 Hs 1 2
s
s1
ht t et ut
yzi t y1t yzs t 2 et ut
f1t 3 t
3 o
f2 t 2 εt
3
2
t
o
图4-3（a）
1
t
o
f3 t εt
t
f1t 3 t
(3)
o
t
(1) f2t t
o
t
图
4-4（b)
(1) f3t t
o
t
（1）对于单边拉氏变换, 由于f1 t f2 t t , 故二者的象
函数相同，即
F1 s
F2 s
3 s
2虽然F1s F2s，但f1t f2t，因而
s
0
s 0
0
1
1 es s
1 s2
es
1 s2
2 e2s s
2 es s
2 e2s s
1 s2
es
1 s2
1 es
2
方法二： 利用线性叠加和时移性质求解
由于 于是
f t t t 2t 1 t 1 t 2 t 2
L
t
t
1 s2
L f t t0 F s est0
Fs
从而得
s 2vC0 iL0 1
故系统的起始状态
vC 0 0 iL 0 1
通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统 的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输 入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统 而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改 变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态 响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为 零。
1 s2
1 2es e2s
1 s2
1 es
2
方法三：利用微分性质求解
信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求
得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分
性质比较简单。
将 f t 微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。
d f t
dt
d2 dt 2
f
t
1
1
1
o
1
1
2t
o
1
2t
Hs
Vo s Es
R
sC sL
1
sC Es
冲激响应
s2
1 2s
1
2
s
iL 0
1 s
vC
0
1 s 4-5(b)
Vo s
ht L1Hs t et ut
（2）求系统的起始状态
为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给 出带有初值的s域模型。下面我们用s域模型求解。图45(a)电路的s域模型如图4-5(b)。
内容摘要
一．拉普拉斯变换
拉氏变换的定义和收敛域 典型信号的拉氏变换
二．单边拉氏变换逆变换的求法
部分分式展开法 围线积分法
三．拉氏变换的基本性质
四．用拉普拉斯变换法分析电路
五．系统函数
系统函数的定义 由零极点的决定系统的时域特性 由零极点的分析系统的稳定性 由零极点的分析系统的频响特性
例4-1 求下列函数的拉氏变换 f t t t 1
L f1t L f2t