测量误差及数据处理
二、 相对误差 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的 大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反映 观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。 例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为 100m ， 另一段为200m，但中误差皆为±0.02m。显然不能认为这两 段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差” 的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。
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2、测量误差的来源


测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术 水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差 的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变 化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各 次观测，称为同精度观测；观测条件不同的各次观测，称为 不同精度观测。 误差通常通过多余观测产生的差异表现出来。
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2、 系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出
现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。
系统误差一般具有累积性。 系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完
善。
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例如： 用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际 长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的误差(“+” 表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误 差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
2 2 2 Z 1 1 2 2 n n
2
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二、 非线性函数 x 、x 、 、x） 设有非线性函数Z=f（ 式 中 ， x 、x 、 、x 为 独 立 观 测 值 ， 其 相 应 的 中 误 差 分 别 为 m 、m 、 、m 。 则有
1 2 n
1
2
n
1
2
n
f m x
测量误差及数据处理 一、 中误差及其计算 1 中误差的定义 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各 个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m 表示，即：
[] m n

式中［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数。此式为 定义式。
注意： 一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。 也就是说，中误差仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个 观测值的精度。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。
3
用改正数计算中误差
所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v表示，即：
v=L-l
式中v为观测值的改正数；l为观测值；L为观测值的最或是值。
设对某个量进行 n 次观测，观测值为li（i=1,2…n)，则 它的最或是值就是n个观测值的算术平均值，即
l l l [l ] L n n
测量误差及数据处理 具体来说，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以 及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。 (2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满 足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。 (3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会 在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。
Z
1
f f m x m x
2 2 1 2 2
2
2
n
m
2
2
n
上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例， 所以该式具有普遍意义。
例2：P109 例3 例3：P110例5
测量误差及数据处理 6.4 算术平均值及其中误差
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相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用 K表示。 相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表 示相对误差愈小，精度也就愈高。 K1=0.02/100=1/5000 K2=0.02/200=1/10000
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三、 极限误差 根据偶然误差的第一个特性，在一定的观测条件下，偶然 误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差， 简称限差。 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。如 果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不合格，应舍 去不用。因此，测量上常取三倍中误差作为极限误差Δ限，也称 允许误差，即： Δ限=3m
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由上表统计总结出偶然误差具有如下四个特征：
① 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 (本 例为24″)； ② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大)； ③ 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； ④ 在相同条件下，同一量的同精度观测，其偶然误差的算术平均值， 随着观测次数的无限增大而趋于零。
都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出
现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次 观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且， 随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。
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例如：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内 角，计算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差 取误差区间为3”，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各 区间的正负误差出现的频率k／n，结果列于下表 ：
1、测量误差的定义
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即 真误差=观测值-真值
lX — 真误差 l — 观测值 X — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
序号 1 2 观测值l 256.565 256.563 v -3mm -5 vv 9 25
3
4 5 6
256.570
256.573 256.571 256.566 l=256.568
+2
+5 +3 -2 [v]=0
4
25 9 4 [vv]=76

解：部分计算如表中所示，观测值中误差为
[vv] 76 m 3.9mm n 1 6 1
测量误差及数据处理 6.3 误差传播定律
对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次 观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作 为评定观测值精度的标准。 但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观 测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来， 这些未知量即为观测值的函数。
1 2 n
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于是改正数为vi＝L－li （i＝１，２…n） 根据误差理论的推导(此处从略)，可得白塞尔公式：
[vv] m n 1
上式求得的为一次观测值的中误差。这为中误差的计算式。
测量误差及数据处理 例1

某段距离用钢尺进行6次等精度丈量，其结果如下表，试计算该距离观 测值中误差。
再如： 在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时， 对水准尺的读数所产生的误差为 L*i″/ρ″（ρ″=206265″， 是一弧度对应的秒值 )，它与水准仪至水准尺之间的距离L成正 比，所以这种误差按某种规律变化。
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系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很 大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可 以采取措施加以消除或减少其影响：
测量误差及数据处理 6.2、 衡量观测值精度的指标
测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用
“精度”来判断观测成果质量的好坏。
所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密
集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大， 精度就低。
衡量观测值精度的指标主要有：
中误差 相对误差 极限误差
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二、误差分类 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为

粗差

系统误差
偶然误差。

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1、粗差

粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大 意、或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。 粗差数值偏大，使观测结果显著偏离真值。


严格遵守测量规范、工作仔细谨慎并对观测结果进行必 要的检核可以避免和发现粗差。
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2
用真误差计算中误差
[] m n
有时，我们可以知道某些量的真值，这样，就可很容 易地求得观测值的真误差。例如，三角形内角和的真值为 180°，通过观测三角形的三个内角，就可以求得三角形内 角和的真误差(即三角形的闭合差)，据此，就可以利用上 式计算中误差。
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测量误差及数据处理 第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶然误差的 绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或 有粗差存在； 第二个特性反映了偶然误差的“密集性”，即越是靠近 0″， 误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的“对称性”，即在各个区间内， 正负误差个数相等或极为接近； 第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性 导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。
在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，其观 测值分别为 l1、l2、 X，则观测值的真误差为： 、，观测值的真值为 ln l X , l X ,, l X, 将等式两边取和并除以观测次数 n, 得： [Δ]/n＝[l]/n-X 式中［ l］ /n 称为算术平均值，习惯上以 L 表示；当观测次数 n 无限增大时，根据偶然误差的第四特性，式中［Δ］/n趋于零。于 是有：L=X。 上式表明，当观测次数无限增多时，各个观测值的算术平均值 趋近于未知量的真值。当n 为有限值时，通常取算术平均值为最可 靠值(最或是值)，并以它作为测量的最后成果。