数列求和
1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法
①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式
(2) 分组求和法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4) 错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广．
(5) 倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式
1
1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1
.
(2)
1 1
1 1
.
n － ）（ n ＋ ） ＝ 2
n － －
n ＋ 1 2
（212 1
1 ＝
n ＋ － n
(3)
1.
n ＋ n ＋1
高频考点一 分组转化法求和
例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝
n 2＋ n
， n ∈ N * . 2
(1) 求数列 { a n } 的通项公式；
(2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．
【感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，
从
而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，
将数列的通项合理分解
转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是
a n ＝2·3n －
1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( －
1) n ln3 ，求其前
n 项和n .
n
S
高频考点二
错位相减法求和
例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为
q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100.
(1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式；
n
a n n
n
b n
【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意：
(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式；
(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于
1 和不等于 1
两种情况求解．
【变式探究】已知数列
n
满足首项为 1
n ＋ 1
n
*
n
2 n
{ a } a ＝ 2， a
＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a －
*
n
n
n n
2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b .
(1) 求证：数列 { b n } 为等差数列；
(2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三
裂项相消法求和
例 3、设各项均为正数的数列 2
2
2
{ a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n
＋n ) ＝ 0， n ∈ N * .
(1) 求 a 1 的值；
(2) 求数列 { a n } 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数
n ，有 ? 1
＋
1
＋ ＋
? 1 ＜ 1 .
1
1＋ 1?
a
2? 2＋1?
a
a
＋ 1?
3
a
a
a
n n
【变式探究】已知函数 a (4,2)
n
1
*
f ( x ) ＝ x 的图象过点 ，令 a ＝ f ?n ＋ 1?＋ f ?n ?，n ∈ N . 记数
列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 2017＝ ________.
【感悟提升】 (1) 用裂项相消法求和时， 要对通项进行变换， 如：
1 ＋
1
n ＋ k
n ＋ ＝ k (
n k
1 －
n ) ，
n n ＋ k ?
1 1 1
＝k ( n － n ＋ k ) 裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．
(2) 抵消后并不一定
只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
【举一反三】在数列 { a } 中， a ＝ 1，当 n ≥2时，其前 n 项和 S
2
S 1
满足 S ＝ a
n 1 n
n
n
n
－
(1) 求 S n 的表达式；
S n
(2) 设 b n ＝ 2n ＋1，求 { b n } 的前 n 项和 T n .
练习：
n
321
2 － 1
1．已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 2n ，其前 n 项和 S n ＝ 64 ，则项数 n ＝()
A ． 13
B ． 10
C
． 9
D
．6
n
1
n ＋1
n
n
*
2 012
＝ (
) 2．已知数列 { a } 满足 a ＝1， a · a ＝ 2 ( n ∈N ) ，则 S
A ． 2 2 012
1 006
1 006
1 005
－2
－1 B ．3·2 －3 C ．3·2 －1 D ．3·2
2
＋ 2bx 过 (1,2) 点，若数列 { 1
的前 n 项和为 S n ，则 S 2 012 的值为 (
)
3．已知函数 f ( x ) ＝ x
}
f n
012 2 011) 010
, 2 011) 013 , 2 012) 012 , 2 013)
,
4．数列 { n } 满足
a n
＋
a
1 n * 1
＝1， n 是数列 { n } 的前
n 项和，则 21
＝ (
)
n ＋1
＝ (
∈N)，且
a
2
a
S
a
S
B
． 6 C ． 10 D ． 11
5．已知函数 f ( n ) ＝ n 2cos( π) ，且
a n
＝ ( ) ＋ ( ＋1) ，则 a
1
＋ 2＋ 3
＋ ＋ 100＝ ( )
n
f n f n
a
a
a
A ．－ 100 B
． 0 C ．100 D
． 10 200
6．在数列 { a n } 中，已知 a 1＝1，a n ＋ 1－ a n ＝sin ?n ＋1?π ，记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则 S 2 014
2 ＝(
)
A ．1 006 B
．1 007 C
．1 008
D
．1 009
7．在数列 { a } 中，a 1＝ 1，a ＋ 1＝ ( － 1)
n
( a ＋ 1) ，记 S 为 { a } 的前 n 项和，则 S 2 013＝ __________ 。
n
n
n
n
n
8．等比数列 n
2
2
2
{ a n } 的前 n 项和 S n ＝2 － 1，则 a 1 ＋ a 2＋ ＋ a n ＝ __________ 。
9．对于每一个正整数
n ＋1
在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ，
n ，设曲线 y ＝ x
令 a n ＝ lg x n ，则 a 1＋ a 2＋ ＋ a 99＝ __________ 。
10．已知等比数列 { a n } 中，首项 a 1＝ 3，公比 q >1，且 3( a n ＋ 2＋ a n ) － 10a n ＋1＝ 0( n ∈ N * ) 。
(1) 求数列 { a n } 的通项公式。
1
(2) 设 b n ＋3a n 是首项为 1，公差为
2 的等差数列，求数列 { b n } 的通项公式和前 n 项和 S n 。
11．设数列 { a n} 的前n项和为S n，已知 2S n＝ 3n＋ 3。
(1)求 { a n} 的通项公式；
(2)若数列 { b n} 满足a n b n＝log 3a n，求 { b n} 的前n项和T n。
12．已知数列{ a n} 是公差为 2 的等差数列，它的前n 项和为S n，且a1＋1， a3＋1， a7＋1 成等比数列。
(1)求 { a n} 的通项公式。
1
(2) 求数列Sn 的前n项和T n。