函数的单调性和值域1．函数单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I某个区间D上的任意两个自变量的值x,2x，当1x<2x时，都有f(1x)<f(2x)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函1数；如果对于定义域I某个区间D上的任意两个自变量的值x,2x，当1x<2x时，1都有f(x)>(2x)，，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；1如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
2.函数单调性的证明方法，通常用两种方法证明：①定义法②导数法（1）利用定义法证明函数单调性的一般步骤是：①取值②作差（有时也可作商）③变形④定号⑤作出结论判断.用定义法证明函数的单调性时，要比较f(x)与f(2x)的大小，最常1用的方法是作差（或作商）比较法。
（2）用导数法证明函数单调性的理论为：若函数y=f(x)在某区间可导，且满足'()f x<0，f x>0，则f(x)在该区间上单调递增；若满足'()则f(x)在该区间上单调递减。
3.函数单调性的应用：（1）比较（函数值）大小（2）求函数的值域或最值（3） 解、证不等式 （4）作函数的图象 （5）讨论方程根的分布。
4．判断函数单调性的方法：（1）常用方法有：定义法、导数法、图象法、特殊值法（主要用于解选择题）（2）利用有关于单调性的一些结论：①奇函数在其对称区间上单调性相同；②偶函数在其对称区间上单调相反；③在公共定义域：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数.注意：f(x)为增函数,若a>0,则af(x)为增函数,若a<0,则af(x)为减函数.(3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性(4)利用复合函数的“同增异减”原则，若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则复合函数y=[g(x)]是减函数。
（简称同增异减）例如：①函数f(x)=log ()23x 1-在其定义域为增函数；②f(x)=函数log ()123x 1-在其定义域是减函数。
函数f(x)=log ()23x 2-在定义域∞)为增函数,在定义域(-∞, 是减函数 5.函数的值域和最值（1）函数的值域（见函数的概念一节） （2）函数的最值①函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，若存在实数M 满足：<1>对任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；<2>存在0x ∈I ，使得f(0x )=M 。
那么,称M 是函数y=f(x)的最大值。
②函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，若存在实数M 满足：<1>对任意的x ∈I ，都有f(x)≥M ；<2>存在0x ∈I ，使得f(0x )=M 。
那么,称M 是函数y=f(x)的最小值。
注意：①函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得f(0x )=M ；②函数最大（小）值应该所有函数值中最大（或最小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x) ≤M(或f(x)≥M)。
6.求函数值域和最值的常用的方法 （1）配方法（适用于一元二次函数型） 例如，求下列函数的值域①y=-22x +5x+6 ②y=2x ﹣2x ﹣3 (0≤x ≤3)③y=﹣sin 2x ﹣3cosx+3( ①(-∞, 738] ②[-4,0] ③ [0,6] )（2）换元法：一元二次函数型或三角代换。
通过换元，将函数化为易求值域的函数形式（注意换元后变量的取值围，以保证变形是恒等的）。
例如，求下列函数的值域①②y=sinx+cosx+sinxcosx ③解：①设=t, 易知t ∈[0,+∞）,且x=21t 2-, 则原函数可化为:y=21tt 2--=()21t 112-++其中t ∈[0,+∞）,当x=0时,有最大值max y =12,即y ≤12. 故所求函数的值域为(-∞,12]②设sinx+cosx=t,t ∈则原函数可化为:y=t+2t 12-（其中t∈[-,]）以下略③设x=2cost,t ∈[0,π],则原函数可化为:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t ∈[0,π]）以下略 ( ① (-∞,12] ② [21t 2-1,12③[-4,（3）利用函数单调性求值域 例如，求下列函数的值域 ①y=3x (1≤x ≤3)⑤y=2x +lnx (0<x ≤3) **⑥y=22x 1x 2x 2+-+ (0≤x ≤4) 解；①函数的定义域为[1，+∞），因为[1，+∞）上均为增函数，故原函数为[1，+∞）上的增函数.所以f(x)≥所以原函数的值域为∞） ②函数的定义域为[1，+∞）易知该函数在其定义域上为减函数，所以f(x)≤所以原函数的值域为③函数的定义域为(-∞,12],而g(x)=x 和h(x)=(-∞,12]上均为增函数，故原函数为(-∞,12]上的增函数.所以f(x)≤f(12)=12,所以原函数的值域为(-∞,12] ④ 函数在[1,3]上为增函数 所以函数的值域为[1，27] ⑤ 函数在(0,3]上为增函数，所以函数的值域为(-∞,9+ln3] ⑥设2x+1=t ，则t ∈[1,9]，且x=t 12-，从而原函数或化为y=24t t 6t 13-+。
当t=0时，y=0,当t ≠0时，4y 13t 6t=+-可证得13t t+在]上是减函数，在,9]上是增函数。
故当t ∈[1,9]时,13t t+∈,14]，进而可求得原函数的值域为[12（此题还有其他变换法求解）（4）利用基本不等式求值域(基本不等式：①若a,b ∈R,则22a b +≥2∣ab ∣≥2ab 。
②若a,b ∈R +,则a+b ≥两个不等式均为当a=b 时,等号成立。
) 例如：求下列函数的值域 ① y=x+1x (x>0) ② y=23xx 4+ （x ≥0） 解：①∵x>0,∴x+1x≥当且仅当x=1x时,即x=1时,等号成立.所以函数的值域为[2，+∞） ②当x=0时,y=0,当x>0时,y=34x x+,∵x>0, ∴x+4x≥=4,当且仅当x=2时,等号成立.所以函数的值域为y ∈[0,4]注意：用均值不等式：若a,b ∈R +,则a+b ≥“一正，二定，三等号成立”（5）利用导数求函数的值域。
（其实质上是利用函数的单调性求值域） 例如：求函数y=242x x -+2的值域解：'2y 8x 2x =-=2x(42x ﹣1)，故原函数在区间(-1,-12),(-12,0) ,(0,12),(12,2)的单调性分别为：递减，递增，递减，递增。
进而可得原函数的值域为：[158，30]*（6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可利用基本函数的值域求得例如：求函数y=log ()22x 2x 3-++的值域解：函数的定义域为（-1，3）,令u=2x 2x 3-++ x ∈（-1，3） 易求得：0<u ≤4因为函数y=log 2u 为增函数,所以原函数的值域为：(﹣∞,2] (此题还有其他解法)（7）分离常数法（常用来解决“分式型”函数的值域） 例如：求函数y=3x 1x 2+-的值域解：y=3x 1x 2+-=()3x 27x 2-+-=3+7x 2-∵7x 2-≠0,∴3+7x 2-≠3, ∴函数y=3x 1x 2+-=的值域为{y ∈R ∣y ≠3}（8）最值法：对于区间上的连续函数，利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。
例如：求函数y=2sinx ﹣1的值域。
解：∵-1≤sinx ≤1 ∴-3≤2sinx ﹣1≤1 ∴所以原函数的值域为[-3,1]（9）判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。
例如：求函数22x 1y x 2x 2+=-+的值域。
解：由22x 1y x 2x 2+=-+得y 2x ﹣2(y+1)x+2y ﹣1=0,由y=0得-2x-1=0,则x=-12,∴0是函数值域中的一个值.当y ≠0时,由△= [()]22y 1-+﹣4y(2y ﹣1)≥0得: ≤y ≤,故函数的值域为（10）图象法：如果函数的图象较易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 例如：求函数y=∣x-3∣-∣x+1∣的值域 ([-4,4])此外还有观察法等7.给定函数的值域或最值，求函数中参数的取值围例如：(1)设函数f(x)=2x ﹣2x+2a,当x ∈[-2,2]时，f(x)≤0恒成立，数a 的取值围。
解法一，分离系数法；由f(x)≤0,得2x ﹣2x+2a ≤0，即2a ≤-2x +2x ，设g(x)=-2x +2x=﹣()2x 1-+1, x ∈[-2,2]∵g(x)在[-2,2]的最小值为max ()g x =g(﹣2)=﹣8, ∴2a ≤﹣8, ∴ a ≤﹣4 所以实数a 的取值围为: (﹣∞,﹣4]解法二：f(x)= 2x ﹣2x+2a=()2x 1-+2a ﹣1, f(x)在x ∈[-2,2]上值域为[2a-1,2a+8], 要使f(x)≤0, x ∈[-2,2]恒成立，只须2a+8≤0，所以 a ≤-4, 所以实数a 的取值围为: (﹣∞,﹣4](2).设f(x)= 2x +ax+3,当x ∈[-2,2]时, f(x)≥0恒成立，数的取围。
( [﹣7,2])**(3).函数y=lg(2x +2x+m)的值是R ，则实数m 的取值围是_______ (﹣∞,1]8.利用函数的单调性求函数中参数的取值围例如：已知函数f(x)= 2x ﹣6ax+1在[2，+∞）上为增函数，则实数a 的取值围为_______解：f(x)= 2x ﹣6ax+1= ()2x 3a -+1﹣92a , 因为函数f(x)在[2，+∞）上为增函数，所以由3a ≤2,得 a ≤23所以实数a 的取值围(﹣∞,23]若函数y=f(x)在其定义D,恒有f(x)≥a 成立,数a 的取值围,就是求f(x)的最小值；若函数y=f(x)在其定义D,恒有f(x)≤a 成立,数a 的取值围,就是求f(x)的最大值。
9.例题例1 证明函数f(x)=x+ 4x在x ∈(0,2)上是减函数解；（定义法）设0<1x <2x <2, 则f(1x )-f(2x )=(114x x +)-(224x x +)=()()21124x x 1x x --∵0<1x <2x <2,∴()21x x ->0, 120x x 4<⋅<∴1241x x >⋅∴12410x x -<⋅ 从而函数f(x)在x ∈(0,2)上为减函数。