2019/2/22
第 七 节 幂函数与函数的图象变换
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重点难点 重点： ①幂函数的定义、图象与性质． ②函数图象三种基本变换规则． 难点： ①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关 系． ②利用基本变换规则作函数图象
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一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝ xα 的函数叫幂函数 (α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函 2 2 数
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a＋ 1<0 0>a＋ 1>3－ 2a 或 3－ 2a>0
，
幂函数的图象
[例 2]
(文)如果函数 f(x＋ 1)是偶函数，那么函数 y )
＝ f(2x)的图象的一条对称轴是直线(
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A． x＝－ 1
B． x＝ 1
1 1 C． x＝－ D． x＝ 2 2 解析：∵ f(x＋ 1)为偶函数，∴将 f(x＋ 1)的图象向
答案：B
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若函数 y ＝ f(x) 与 y ＝ g(x) 的图象分别如图，则 f(x)· g(x)的图象可能是 ( )
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解析：由 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知 f(x)· g(x) 为奇函数， x∈(－ 3,0)时， f(x)>0， g(x)>0， 所以 f(x)g(x)>0， 故选 C.
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1 答案：0， 2
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(理 )(2010· 山东临沂 )已知函数
1 f(x)＝ x－ log3x，若 5
x0 是方程 f(x)＝ 0 的解，且 0<x1<x0，则 f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值 B．等于 0 D．不大于 0
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2．识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本 功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、 奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点， 另外有无渐近线， 正、 负值区间等都是识图的重要方面 ， 要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来 确定这些参数．
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2．由函数 y＝ f(x)的图象变换成 y＝ g(x)的图象，变 换顺序为①→②时，由 y＝ g(x)的图象变换成 y＝ f(x)的图 象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.
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3．在研究幂函数 y＝ xα 的图象、性质时，应考虑 α 的三种情况： α>0，α＝ 0 和 α<0.幂函数的图象一定出现 在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴 相交时，交点一定是原点．
－ m 3
<(3－
的 a 的取值范围．
分析： 先根据条件确定 m 的值，再利用幂函数的单 调性求 a 的范围．图象关于 y 轴对称说明此幂函数为偶 函数，在 (0，＋∞ )上单调递减，说明指数为负，故应从 指数小于 0 入手求解．
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解析： ∵函数在 (0，＋∞ )上递减， ∴ m2－ 2m－ 3<0，解得－ 1<m<3. ∵ m∈ N＋ ，∴ m＝ 1,2. 又函数图象关于 y 轴对称，∴ m2－ 2m－ 3 是偶数． 而 22－ 2× 2－ 3＝－ 3 为奇数， 12－ 2× 1－ 3＝－4 为 偶数，∴ m＝ 1.
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∵ y＝ x
－
1 3
在 (－ ∞， 0)和(0，＋ ∞)上均为减函数，
－ 1 3
∴ (a＋ 1)
<(3－ 2a)
－
1 3
等价于 a＋ 1>3－ 2a>0 或 0>a
＋ 1>3－ 2a 或 a＋ 1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或 <a< . 3 2 故
2 3 a 的范围为 aa<－1或3<a<2 .
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一、数形结合的思想 函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察 图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数 形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质， 应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函 数关系；函数关系决定了函数图象的性质．
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2．图象：(只作出第一象限图象 )
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幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根 据对称性作出． 幂函数 y＝ xα(α∈ R)的图象如下表：
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q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、q 都是 奇数
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α＝
q p
α<0
0<α<1
α>1
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解析： (1)∵ 0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴ 0.71.3<1.30.7 考察幂函数 y＝ xm 由(0.71.3)m<(1.30.7)m 知 y＝ xm 为 (0，＋∞ )上的增函数，∴ m>0. (2)指数函数 y＝ 0.8x 是减函数，∴ 0.80.7>0.80.8 又幂函数 y＝ x0.8 在第一象限为增函数 ∴ 0.80.8>0.70.8，∴ 0.80.7>0.70.8.
⑤ y＝ |f(x)|的图象可将 y＝ f(x)的图象在 x 轴下方的部 分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分不变． ⑥ y＝ f(|x|)的图象可将 y＝f(x)，x≥ 0 的部分作出，再 利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性， 作出 x＜ 0 的图象．
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(3)伸缩变换 ① y＝ Af(x)(A＞0)的图象， 可将 y＝ f(x)图象上所有点 的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到． ② y＝ f(ax)(a＞ 0)的图象，可将 y＝ f(x)图象上所有点 1 的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到． a
答案：C
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数形结合的思想
[例 4]
(文)若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0，且
a≠1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ________．
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解析： 由图可知，ⅰ)当 a>1 时， 2a>2，不成立． 1 ⅱ )当 0<a<1 时， 0<2a<1⇒0<a< . 2 1 综上所述， a 的取值范围是 0<a< . 2
二、图形变换方法 作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图 是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换， 作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记 基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特 征．
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幂函数的单调性
[例 1] (1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求 m 的范围． (2)比较大小：0.80.7 与 0.70.8.
减
函数．
(3)α＝ 0 时 y＝ x0， 表示过(1,1)点平行于 x 轴的直线(除 去 (0,1)点)．
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二、函数的图象与图象变换 1．画图 描点法 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域 )； ④列对应值表 (尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与 坐标轴的交点 )；⑤描点，连线．
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图象变换法 (1)平移变换 ①左右平移：y＝f(x－ a)的图象，可由 y＝f(x)的图象 向左 (a<0)或向右 (a>0)平移 |a|个单位而得到． ②上下平移：y＝f(x)＋ b 的图象， 可由 y＝f(x)的图象 向上 (b>0)或向下 (b<0)平移 |b|个单位而得到．
p 为奇 数， q 为 偶数 p 为偶 数， q 为 奇数
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3.性质： (1)当 和
(1,1)
点；
且在第一象限都是 增 函数； 当 0<α<1 时曲线上凸； 当 α>1 时，曲线下凸； α＝ 1 时，为过 (0,0)点和 (1,1)点的 直线． (2)当 α<0 时，幂函数图象总经过 (1,1) 点，且在第一 象限为
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幂函数 y＝ x 的值为 ( )
m2＋ 3m
(m∈Z)的图象如下图所示，则 m
A．－ 3<m<0 B．－ 1 C．－ 2 D．－ 1 或－2
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解析： ∵ y＝ xm 3m<0，∴－ 3<m<0
2＋ 3m
在第一象限为减函数，∴ m2 ＋
∵ m∈ Z，∴ m 的可能值为－ 2，－ 1. 代入函数解析式知，当 m＝－ 1 和－ 2 时，函数都是 y＝ x－ 2，为偶函数，故选 D.
)
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解析： 构造函数 y＝ 2－x 与 y＝ 3－x2，由图象可知两 函数图象有两个交点， 故方程 2－x＋ x2＝ 3 有 2 个实数根， 所以选 A.
答案：A
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(理)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数．当 x∈[0,1]时， f(x)＝ x，那么在区间 [－ 1,3]内，关于 x 的方程 f(x)＝ kx＋ k＋ 1(k∈ R 且 k≠－ 1)有四个根， 则 k 的取值范围是 ( A． (－ 1,0) 1 C． (－ ， 0) 3 1 B． (－ ， 0) 2 1 D． (－ ， 0) 4 )
答案：D
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