2.3幂函数
令狐文艳
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点
幂函数的图像与性质 学习难点
幂函数性质的应用 学习过程
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为a 的正方形面积2
S a =，S 是a 的函数；
（2）面积为S 的正方形边长12
a S =，a 是S 的函数；
（3）边长为a 的立方体体积3
V a =，V 是a 的函数；
（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数；
（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.
1.幂函数的概念：一般地，形如
y x α
=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.
判断下列函数哪些是幂函数. ①
1
y x =
；②22y x =；③3
y x x =-；④1y =.
2.幂函数的图象与性质
作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12
y x
=；（3）
2y x =；
（4）1
y x -=；（5）3
y x =．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
x y =
2x y =
3x y =
2
1x y = 1-=x y
定义域 值域 奇偶性 单调性
定点
1.幂函数的性质：
2.幂函数图象变化规律：．
练习：下列关于幂函数的命题中不正确的是( )
A 幂函数的图象都经过点(1,1)
B 幂函数的图象不可能在第四象限内
C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0
D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数
例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性.
解析：证明函数的单调性一般用定义法。

证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则
2
1212
121212121)
)(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-=
++-=
-=-，
因为21x x <，021>+x x ，所以
02
121<+-x x x x ，
所以)()(21x f x f <，即()f x x =在[0,)+∞为增函数。

点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写。

例2利用单调性比较大小： （1）215与3
15 ； （2）223
(2)
a -+与23
2-
； （3）1.19.0与8
.02.1.
关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较；
②异底同指，用幂函数单调性
比较；
③异底异指，构造中间量（同
底或同指）进行比较。

例3：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。

（1）2
3-=x y （2）3
2-=x y
[达标训练] 1. 若幂函数
()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.
A ．α>0
B ．α<0
C ．α=0
D ．不能确定
2. 函数4
3
y x =的图象是（ ）.
A. B. C. D.
3. 若112
2
1.1,0.9a b -
==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ．a <l<b B ．1<a <b C ．b <l<a D ．1<b <a
4.已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则它的解析式为. [巩固提高]
1.在下列函数中，定义域为R 的是（） A 2
3x y = B 2
1-
=x y C x y 2= D 1-=x y
2.下面给出了5
个函数○112+=x y ○22
1
-=x
y ○322x y =○43
2
-=x
y ○5
131
+=x y ，其中是幂函数的是（）
A ○1○5
B ○1○2○3
C ○2④
D ○2○3○5 3. 下列函数中,既是奇函数，又在),0(+∞上是减函数的是（） A
x
y = B x y -=2 C 3
x y = D 3x y -= 4.函数3
x y =与函数3
1
x y =的图象（）
A 关于原点对称
B 关于y 轴对称
C 关于x 轴对称
D 关于直线y=x 对称 5.函数3
2x y =图象的大致形状是（）
A B C D
7.如图,函数m x
y=在第一象限的图象分别是实线和虚线
y=和n x
的图象,那么一定有
n<m<0 B
m>n>0 D
n>m>0
8 .已知幂函数的图象过点( 2 , 41) ,则该函数的图象( )
A 关于原点对称
B 关于y轴对称
C 关于x轴对称
D 关于直线y=x对称
9.函数43-
y在区间上是减函数
=x
10.已知31
2x
x>，求x的取值范围。