幂函数图象有规律
幂函数()n y
x n Q 的图象看似复杂，其实很有规律。
假如我们能抓住这些规律，那
么幂函数图象问题就可迎刃而解。
那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。
2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。
3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。
4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。
5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。
2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。
3．各个象限内图象分布之规律：设p
n
q
，,p q 互质，,p Z q N 。
1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。
2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。
3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。
4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。
5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。
知识点：幂函数的图象特征:
（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．
先根据函数特征画出第一象限图象；
① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数．
③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减
函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
（2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． （3）常见幂函数性质
y=x
y=x 2
y=x 3
y=x 2
1
y=x 1-
定义域 值域 奇偶性
单调性 定点
例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）
；（8）
；（9）。
解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E ，C ，A ，G ，B ，I ，D ，H ，F 。
例1.下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=x
x
B.y=3x 2
C.y=x 2
1+1 D.y=x
3
-
练习1：已知函数22
21
(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．
练习2：若函数29
()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．
题型二：幂函数性质
例2：下列命题中正确的是（ ）
A ．当0α=时，函数y x α
=的图象是一条直线
B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C ．幂函数的y x
α
=图象不可能在第四象限内
D ．若幂函数
y x
α
=为奇函数，则在定义域内是增函数
练习3：如图，曲线c1, c2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限的图象，那么一定有（ ）
A ．n<m<0
B ．m<n<0
C ．m>n>0
D ．n>m>0 练习4：．（1）函数y ＝5
2x 的单调递减区间为（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（－∞，0）
C ．［0，＋∞)
D ．（－∞，＋∞）
（2）．函数y ＝x 4
3-在区间上 是减函数．
（3）．幂函数的图象过点(2,41), 则它的单调递增区间是 ． 题型三：比较大小
.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）433.2，4
34.2; （2）5631.0，5
635.0； （3）2
3)2(-
，2
3)
3(-
；
（4）2
11
.1-，2
19
.0-．
.
2.设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：
则a 的值为（ ）
（A ）1
（B ）－1
（C ）
2
5
1-- （D ）
2
5
1+-
3.图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） Ａ．3
12
y x =
- (02)x ≤≤
第1题图
Ｂ．33
122y x =
-- (02)x ≤≤
Ｃ．3
12
y x =-- (02)x ≤≤
Ｄ．11y x =--
(02)x ≤≤
题型3：函数的图象变换．
1.函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） （A ）0,1<>b a （B ）0,1>>b a （C ）0,10><<b a （D ）0,10<<<b a
2.将函数)1lg()(x x f -=的图象 （ ）
（A ）沿x 轴向右平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （B ）沿x 轴向左平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （C ）沿y 轴向上平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 （D ）沿y 轴向下平移1个单位所得图象与函数x y lg =的图象关于y 轴对称 3．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于 对称．
题型4：函数图象应用
3.已知定义在R 上的函数)(x f 关于原点对称，它在),0(+∞上的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集为 ． 4．已知定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)的函数f (x )是偶函数，并且在(－∞,0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f (x )
x
<0的解集是（ ）．
A ．(－3,0)∪(0,3)
B ．(－∞,－3)∪(0,3)
C ．(－∞,－3)∪(3,＋∞)
D ．(－3,0)∪(3,＋∞)
5.函数)(x f y =的图象与函数2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为（ ） （A ）21
()(0)log f x x x
=
> （B ）21
()(0)log ()
f x x x =
<-
（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<
x
y
o
2。