第17课 特殊的平行四边形
知识清单 课前小测 经典回顾 中考冲刺
本节内容考纲要求考查矩形、菱形、正方形的性质与 判定，是初中数学中的难点问题。广东省近5年试题规律 ：单独考查矩形、菱形、正方形的性质试题很少出现， 近几年，对本节内容，作了删减，梯形不再考查，试题 难度也有所下降。
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知识清单
知识点一 矩形
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质
(1)矩形具有平行四边形的所有的性质； (2)矩形的四个角都是直角，对角线互相平分并且相等；
(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对 称图形，它的对称中心就是对角线的交点.
判定
(1)定义法； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形.
DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ A ）
A．24
5
B．12 C．55
D．4
7．（2016•南宁）有3个正方形如图所示放置，阴影部分
的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ D ）
A．1： 2 B．1：2
C．2：3
D．4：9
Hale Waihona Puke 首页末页8．（2016•广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相
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知识点二 菱形
定义 性质 判定
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形具有平行四边形的所有性质； (2)菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，并且每条对角线 平分一组对角； (3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的 对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点 ； (4)菱形的面积等于对角线乘积的一半.
x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，
BC=2，则点D的坐标是（2+ 3 ，1）．
14．（2016•菏泽）如图，在正方形ABCD外作1等腰直角
△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=
3
．
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三、解答题
15．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
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考点三 正方形
例3（2016•株洲）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别 是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作 AH⊥ED于H点． （1）求证：△ADF≌△ABE； （2）若BE=1，求tan∠AED的值．
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解：（1）正方形ABCD中， ∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ADF=∠ABE=90°， 又DF=BE， ∴△ADF≌△ABE； （2）过点A作AH⊥DE于点H，
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一、选择题
中考冲刺
1．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交
于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2 3 ，DE=2，则四边形
OCED的面积（ A ）
A．2 3 B．4
C．4 3 D．8
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2．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过
点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点
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【变式1】（2016•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
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解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴AO=OB， ∵AB=AO， ∴AB=AO=BO， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABD=60°．
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2．（2015•泸州）菱形具有而平行四边形不一定具有的
性质是（ D ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
3．（2015•钦州）如图，要使□ABCD成为菱形，则需添
加的一个条件是（ B ） A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D．AC=BD
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4．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四
边形是（ B ）
A．等腰梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
5．（2015•鄂尔多斯）如图，P是矩形ABCD的对角线AC的 中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周 长为（ D ） A．14 B．16 C．17 D．18
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（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，
∴∠ABF2=∠CBE．
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ B ）
A． 2 C．2 +1
B．2 2 D．2 2 +1
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二、填空题
9．（2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使
CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 15 度．
10．（2016•广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2 3 ，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线 折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= 3 ．
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证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∴四边形AODE是矩形．
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18．（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是 线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中 ∠EBF=90°，连接CE、CF． （1）求证：△ABF≌△CBE； （2）判断△CEF的形状，并说明理由．
(1)定义法； (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线垂直的平行四边形是菱形.
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知识点三 正方形
定义 性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正 方形.
(1)正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂 直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形 和菱形的所有性质； (2)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴有四 条，对称中心是对角线的交点.
E，F，则DE的长是（ D ）
A． 5 C．1
B．163 D．56
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3．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直
线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ C ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
4．（2016•黔东南州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为
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经典回顾
考点一 矩形 例1（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
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证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∴四边形AODE是矩形．
（D）
A．2
B．3
C． 3 D．2 3
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5．（2016•宁夏）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF= 2 ，
BD=2，则菱形ABCD的面积为（ A ）
A．2 2
B． 2
C．6 2
D．8 2
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6．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．
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判定
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形； (3)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
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课前小测
1．（2015•益阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 交于点O，以下说法错误的是（ D ） A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
在Rt△ABE中，∵AB=BC=3， ∵BE=1，
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【变式3】（2016•无锡）已知，如图，正方形ABCD中，E 为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE 、DF．求证：DE=DF．
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证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°， ∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°． ∴∠C=∠DAF， 又CE=AF， ∴△DCE≌△DAF（SAS）， ∴DE=DF．
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11．（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD
相交于1点2 O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=
5
．
12．（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为
24
．
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13．（2016•漳州）如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在