天一大联考2017-2018学年高一年级阶段性测试（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知底面半径为2 的圆锥的体积为8π ，则圆锥的高为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．82.若221{211}a a a -∈--+，， ，则a = （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．0 或13.若直线1l ：210x y -+= 和直线2l ：20x y t -+= ，则t = （ ） A ．3- 或3 B ．1- 或1 C ．3- 或1 D ． 1- 或34.函数211()521xf x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭一定存在零点的区间是（ ） A ．(12)， B ．(0 1)， C.(23 )--， D ．1 21⎛⎫- ⎪⎝-⎭， 5.已知集合14416x A x⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤ ，21log 534B x x ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭≤ ，则()R C A B = （ ）A ．33120⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．33220⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.33120⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．∅6.如图画出的某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．80+20πB ．9616π+ C.9620π+ D ．9624π+ 7.已知幂函数2()(21)a g x a x +=- 的图像过函数2()x b f x +=的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．2-B ．1 C.2 D ．48.函数31()2(31)x x f x x +=--的图象大致为（ ） A ． B ． C.D ．9.已知过点(20)，且与直线40x y ++= 平行的直线l 与圆C ：22450x y y ++-= 交于A ，B 两点，则OAB △ （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．1 B．10.已知在四棱锥S ABCD - 中，SD ⊥ 平面ABCD ，AB CD ∥ ，AB AD ⊥ ，SB BC ⊥ .若22SA AD == ，2CD AB = ，则AB = （ ） A ．1 B2 D11.已知圆1C ：22(2)(3)4x y -+-= 与2C ：22()(4)16x a y -+-= 相离，过原点O 分别作两个圆的切线1l ，2l ，若1l ，2l 的斜率之积为1- ，则实数a 的值为（ ）A ．83B ．83- C.6- D ．612.已知函数11(01],()221(10]xx x f x x +⎧⎛⎫∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈-⎩，，，， 若方程2()0f x x m --= 有且仅有一个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11m -<<B ．112m -<-≤ 或1m = C.112m -<-≤D ．112m -<<- 或1m =第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知Rt ABC △ 的顶点(01)C -， ，斜边AB 所在直线的方程为3210x y -+= ，则AB 边上的高所在直线的方程为 ．14.若函数2212322x x f x x x⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ （0x ≠ ），则(2)f = ． 15.在四面体ABCD 中，ABD △ 是边长为2 的正三角形，BCD △ 为直角三角形，且AC BC CD ==ABCD 的外接球的体积为 ．16已知函数()x f x a = （0a > ，1a ≠ ）在[21]-，上的值域为[4]m ， ，且函数31()m g x x-=在(0+)∞， 上是减函数，则m a += . ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()f x 的定义域为A ，集合{|12}B x x =-<< （1）若12a = ，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()f x ，当a b R ∈， 时，恒有2()33a b a b f a f f -+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）若(1)2f =- ，求(2)f ，(3)f 的值； （2）判断函数()f x 的奇偶性.19. 如图，在四棱锥P ABCD - 中，PA ⊥ 平面ABCD ，AD BC ∥ ，AD DC ⊥ ，E 为PD 的中点，222BC CD PA AD ====.（1）求证：AE ⊥ 平面PCD ； （2）求三棱锥C BDE - 的体积.20. 已知函数()lg(1)f x ax =- （0a > ）（1）当2a =时，求不等式0()lg(1)1f x x <-+< 的解集；（2）设()()log 10f x a g x = ，若函数()g x 在区间312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上为增函数，且()g x 的最小值为1 ，求实数a 的值.21. 如图，在直三棱柱111ABC A B C - 中，1AA AB BC == ， AB BC ⊥，P ，Q 分别为AC ， 11B C 的中点.（1）求证：PQ∥平面11AA B B；（2）求异面直线1AB与CQ所成角的余弦值.22.已知圆O：229x y+=上的点P关于点112⎛⎫-⎪⎝⎭，的对称点为Q，记Q的轨迹为C .（1）求C的轨迹方程；（2）设过点(10)-，的直线l与C交于A，B两点，试问：是否存在直线l，使以AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.天一大联考2017-2018学年高一年级阶段性测试（二）数学·答案一、选择题1-5:CBDCA 6-10:BAABA 11、12：CD二、填空题13.2330x y ++= 14.51216.1 三、解答题17.解：由010a x x a -⎧⎨-+⎩≥≥ 得1a x a -≤≤ ，则{|1}A x a x a =-≤≤（1）若12a =，则1122A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤≤1122AB x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤≤（2）由AB A =，得A B ⊆由112a a ->-⎧⎨<⎩得02a <<∴实数a 的取值范围是(02)， 18.解：（1）在2()33a b a b f a f f -+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，令3a b x -= ,23a b y += ,则x y a += ，∴()()()f x y f x f y +=+∵(1)2f =- ∴(2)(11)(1)(1)4f f f f =+=+=- ，(3)(21)(2)(1)6f f f f =+=+=- （2）由（1）知()()()f x y f x f y +=+令0x y == ，得(00)(0)(0)f f f +=+ ，∴(0)0f =令y x =- ，得()()()f x x f x f x -=+- ，即(0)()()0f f x f x =+-= ∴()()f x f x -=- ，故()f x 为奇函数.19.解：（1）∵PA AD = ，E 为PD 的中点，∴AE PD ⊥ ∵PA ⊥ 平面ABCD ，∴PA DC ⊥ 又∵AE ⊂ 平面PAD ，∴CD AE ⊥又∵PD ，CD 为平面PCD 内两条相交直线，∴AE ⊥ 平面PCD .（2）∵C BDE E BCD V V --= ，E 为PD 的中点，∴12C BDE E BCD P BCD V V V ---==∵PA ⊥ 平面ABCD ，∴1111222132323P BCD V DC BC PA -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故1123C BDE P BCD V V --==20.解：（1）0()lg(1)1f x x <-+< 等价于0lg(12)lg(1)1x x <--+< 由12010x x ->⎧⎨+>⎩ 得112x -<< ①由120lg(12)lg(1)lg1x x x x -<--+=+ ，得121101xx -<<+ 由10x +> ，得1121010x x x +<-<+ ，解得304x -<< ②由①②得原不等式的解集为304x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）lg(1)()log 10log (1)ax a a g x ax -==-令1t ax =- ，则log a y t = ，∵0a > ，∴函数1t ax =- 为减函数.又∵()g x 在区间312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上为增函数，∴log a y t = 为减函数，∴01a <<∴312x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 时()t x 的最大值为1a - ，最小值为3102a -> ，由3102a -> ，得23a < ，此时()g x 的最小值为log (1)a a - .又()g x 的最小值为1 ，∴log (1)1a a -= ，∴12a = 21.如图，取AB 的中点R ，连接PR ，1B R∵P ，Q 分别为AC ，11B C 的中点，∴12PR BC ∥∴，则1PQB B 为平行四边形，∴1PQ B R ∥又∵PQ ⊄ 平面11AA B B ，1B R ⊂ 平面11AA B B ，∴PQ ∥平面11AA B B （2）如图，取BC 的中点M ，连接1B M ，AM ，则1B M CQ ∥ ∴1AB M ∠ 或其补角为异面直线1AB 与CQ 所成的角. 设1AA AB BC a ===，则AM =，1AB =，1B M = ， 在等腰三角形1A BM中，11112cos AB AB M B M ∠==故异面直线1AB CQ22.解：（1）设Q 的坐标为()x y ， ，P 的坐标为00()x y ， 则由中点坐标公式，得0012212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩ ∴0012x x y y =-⎧⎨=--⎩将0012x x y y=-⎧⎨=--⎩代入22009x y +=，得22(1)(2)9x y -++= 即C 的轨迹方程为22(1)(2)9x y -++= . （2）设11()A x y ，，22()B x y ，由题意，知OA OB ⊥ ,显然OA ，OB 的斜率均存在，∴1OA OB k k ⋅=- ∴12121y y x x ⋅=-，即12120x x y y += ① 当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，则(1)A -，(12)B -，，满足12120x x y y +=， ∴直线l ：1x =- ，满足条件.② 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+ ，代入22(1)(2)9x y -++=得2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-= ，则21222421k k x x k +-+=-+ ，2122441k k x x k+-=+ 由12120x x y y +=，得21212(1)(1)0x x k x x +++= ，即2221212(1)()0k x x k x x k ++++= ，∴22222244242(1)011k k k k k k k k +-+-+-⋅=++ ，解得1k = ，∴直线l 的方程为1y x =+ . 综上可知，存在满足条件的直线l ：1x =- 和l ：1y x =+ .。