高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d nL x y s +=⎰Ñ( ) ．（A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π； （D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰Ñ( )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+．3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰ ． 2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰ ．3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2tx t y t z t π==≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰ ．4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰ ． 5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰ ．三、计算题1．计算L s ⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．2．2d z s Γ⎰Ñ，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。
4．求222d Sx y z∑++⎰⎰，其中∑是介于0z =与4z =之间的柱面224x y +=．四、应用题1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222x z R +=所围立体的表面积．2．求面密度1ρ=的均匀半球壳2222(0)x y z a z ++=≥关于z 轴的转动惯量．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222(0)x y a a +=>负向一周，则曲线积分3223()d ()d L xx y x xy y y -+-=⎰Ñ ( ) ．（A ）0；（B ）42a π-； （C ）4a π-； （D ）4a π．2．设L 是椭圆2248x y x +=沿逆时针方向，则曲线积分2e d d yL x x y +=⎰Ñ ( )．（A ）2π； （B ）π；（C ）1； （D ）0．3. 设曲线积分2d ()d L xyx y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续的导数，且(0)0ϕ=，则(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰等于（ ）（A ）38（B ）12 （C ）34 （D ）14．已知2()d d ()x ay y y xx y +-+为某函数的全微分，则a = ( )正确． （A ）1-； （B ）0； （C ）2 （D ）1．二、填空题1．设L 为22(1)4x y +-=正向一周，则22d d (1)Lx y y xx y -=+-⎰Ñ ．2．设L 为封闭折线||||1x x y ++=正向一周，则22d cos()d L x y x x y y -+=⎰Ñ ．3．设L 为0tan d xy t t =⎰从x=0到4x π=一段弧，将(,)d (,)d L P x y x Q x y y +⎰化为第一型曲线积分为 ．4．设L 为封闭折线||||1x y +=沿顺时针方向，则22d d L xy x x y x y +=+⎰Ñ ．三、计算题1．计算2d d L y x x y -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)A 到(1,1)B -，再沿直线到(0,2)C 的曲线．2．计算2()d (sin )d L x y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y =(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧．3．设()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ．证明2221[1()]d [()1]d L xI y f xy x y f xy y y y=++-⎰（1）证明曲线积分I 与路径L 无关（2）当ab cd =时，求I 的值4．设力2y x y -+=i jF ，证明力F 在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点(1,2)A 到点(2,1)B 力F 所作的功．5．计算[]¼[]()cos d ()sin d AMBI y x y x y x y ϕπϕπ'=-+-⎰，其中¼AMB 在连结点(,2)A π与(3,4)B π的线段之下方的任意路线，且该路线与AB 所围成的面积为2，()y ϕ具有连续的导数。
四．证明题证明d d d P x Q y R z s Γ++≤⎰⎰，并由此估计d d d z x x y y z Γ++⎰Ñ的上界。
其中Γ为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线并已取定方向第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设Γ是球面2222(0)x y z a a ++=>外侧，则曲面积分222()d d xy z x y ∑++=⎰⎰Ò ( ) ．（A ）0； （B ）24a π； （C ）2a π；（D ）343a π．2．设空间闭区域Ω由曲面222z a x y =--与平面0z =围成(0)a >，记Ω的表面外侧为∑，Ω的体积为V ，则2222d d d d (1)d d I x yz y z xy z z x z xyz x y ∑=-++=⎰⎰Ò（ ）（A ）0； （B ）V ； （C ）2V ； （D ）3V . 3．设∑是球面2222x y z a ++=的外侧，则曲面积分32222d d d d d d ()x y z y z x z x y x y z ∑++=++⎰⎰Ò ( )．（A ）0；（B ）1；（C ）2π；（D ）4π．4设222d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰，其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及z h =之间部分的下侧，则I =（ ）（A ）412h π-； （B ）4h π-; (C) 412h π； （D ）4h π二、填空题1．设∑为球面2229x y z ++=，法向量向外，则d d z x y ∑=⎰⎰Ò ． 2．向量场22e ln(1)z A xy i y j x z k =+++r r r 在点(1,1,0)M 处的散度divA= ．3．设向量场(sin )(cos )A z y i z x y j =+--r r，则rot A = ．4．设∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的下侧，则I =d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++⎰⎰化为对面积的曲面积分为I = ．5．设∑为球面2222x y z a ++=，法向量向外，则3d d x y z ∑=⎰⎰Ò ．6．设22u x y yz =++，则div(grad )u = ．三、计算题1．计算2cos d x y s γ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=的下半球面，法线朝上，γ是法线正向与z 轴正向的夹角。
2．计算[][][](,,)d d 2(,,)d d (,,)d d f x y z x y z f x y x y z x f x y z z x y∑+++++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。
3．计算曲面积分333d d d d d d x y zI y z z x x y r r r∑=++⎰⎰Ò其中,222:149x y r z =∑++= 方向外侧4．计算3322d d 2d d 3(1)d d I x y z y z x z x y ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．5．计算22d d d I y x x y z z Γ=-++⎰Ñ，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的交线，从z 轴正向看去，Γ取逆时针方向．6. 计算曲面积分[]22()2d ,I x y z yz S ∑=+++⎰⎰Ò其中∑是球面22222.x y z x z ++=+第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设10(1,2,3,)n a n n <<=L ，则下列级数中肯定收敛的是 ( )．（A ）1n n a ∞=∑；（B ）1(1)nn n a ∞=-∑； （C ）n ∞=（D ）1nn a n∞=∑． 2．若级数11,n n n n u v ∞∞==∑∑都发散，则 )．（A ）1()n n n u v ∞=+∑发散；（B ）1n n n u v ∞=∑发散；（C ）1(||||)n n n u v ∞=+∑发散；（D ）221()n n n u v ∞=+∑发散．3．设级数1n n u ∞=∑收敛，则必收敛的级数为 )．（A ）1(1)nnn u n∞=-∑；（B ）21n n u ∞=∑；（C ）2121()n n n u u ∞-=-∑；（D ）11()n n n u u ∞+=+∑．4．设a 为常数，则级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121sin n n n α（ ）． （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散；（D ）收敛性取决于a 的值．5．设1(1)ln(1)n n a n=-+，下列结论中正确的是（ ）（A ）级数1n n a ∞=∑和21n n a ∞=∑都收敛 （B ）级数1n n a ∞=∑和21n n a ∞=∑都发散（c ）级数1n n a ∞=∑收敛，而21n n a ∞=∑都发散 （D ）级数1n n a ∞=∑发散，而21n n a ∞=∑收敛6．0(1,2,3,),n u n ≠=L 设lim1,nn u n →∞=且则级数()11111(1)().nn n u u n +∞+=-+∑(A ) 发散 ; (B ) 绝对收敛;（C ）条件收敛 ; (D ) 收敛性根据条件不能确定.二、填空题1．若级数12111(1)2,5n n n n n u u ∞∞--==-==∑∑，则级数1n n u ∞=∑= ．2．设级数11ln pn n n∞=∑收敛，则p 满足什么条件 3．当 a ∈ 时，级数1n n a ∞=∑的收敛 三、计算题 1．判别级数11(0)nn a n a∞=>+∑的敛散性2．求级数1ln 312(1)n n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑的和．3．设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．4．判别级数nn ∞=的敛散性5．判别级数2!n n n a n n∞=∑的敛散性（0a >）6．讨论级数21(1)(0)nn n n a a ∞=->∑的敛散性四．证明题1．若正项数列{}n a 单调增加且有上界，证明11ln 2n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛2．若级数1n n a ∞=∑绝对收敛，证明11n n n aa ∞=+∑绝对收敛第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设1lim 2n n na a +→∞=，则幂级数211n n n a x ∞+=∑的收敛半径（ ）．（A ）2R =；（B ）12R =； （C）R =； （D ）R =+∞． 2．已知函数∑∞=-0)1(n n n x a 在2-=x 处收敛，则在0=x 处，该级数为（ ）．（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）收敛性不定．3．幂级数113nnn x n ∞=∑的收敛域是 ( )． （A ）11[-,]33； （B ）11[-,)33；（C ）[-3, 3]； （D ）[3,3)-．4．2x 展开为x 的幂级数是 ( )．（A ）0!nn x n ∞=∑；（B ）0(1)!n n n x n ∞=-∑； （C ）0(ln 2)!n n x n ∞=∑； （D ）0(ln 2)nn x n ∞=∑． 5. 设2()(01)f x x x =<<，而1()sin ,(,)n n s x b n x x π∞==∈-∞+∞∑，其中102()sin d ,1,2,.n b f x n x x n π==⎰L 则12s ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）（A ）14- （B ）14 （C ）12- （D ）12二、填空题1．若幂级数1n n n a x ∞=∑在2x =处条件收敛，则幂级数收敛半径为 ．2．设幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=+∑的收敛区间为 ．3．幂级数212(3)n n nn nx ∞=+-∑的收敛半径为 ． 4．设函数2(),[0,1]f x x x =∈，而01()cos ,2n n a s x a n x π∞==+∑ (,)x ∈-∞+∞，其中102()cos d ,0,1,2,n a f x n x x n π==⎰L ，则(1)s -的值为 ．三、计算题 1．设幂级数11!n n n x n ∞+=∑，求 （1）收敛域及其和函数； （2）112!nn n n ∞=-∑的和。