大学生力学竞赛模拟题 ------江苏技术师范学院一、连日大雨，河水猛涨，一渡船被河水冲到河中央，摆渡人眼疾手快，立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游冲去。

这时，摆渡人看到一木桩，并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈，就拉住了冲向下游的渡船。

（1） 本问题与力学中的什么内容有关系 （2） 利用木桩拉住渡船，则摆渡人少使多少力？（3） 如果水对渡船的推力为20kN ，而摆渡人的最大拉力为500N ，木桩与缆绳之间的摩擦系数3.0=f ，则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈？若缆绳横截面面积为3002mm ，木桩直径为20cm ，木桩至渡船的缆绳长10m ，弹性模量E=100GPa ，忽略木桩至手拉端绳的变形，试计算缆绳的总伸长量。

题1图一、解：（1）、关键词：摩擦，轴向拉伸（2）、设手拉端的拉力为人F ，船的拉力为船F ，缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用，如图（1-a ）所示。

任取一微段（图（1-b ）），由微段的平衡条件（1-a ） （1-b ）0=∑r F 02sin 2sin )(=-+-θθd F d dF F dF r （1） 0=∑θF ()02cos 2cos=--+r fdF d F d dF F θθ （2） 对于微小角度θd ，可令 22sinθθd d ≈，12cos ≈θd ，并略去高阶微量2θd dF ⨯，即得fF d dF=θ（3） 分离变量，积分得θf Ae F = （4）其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定，有0=θ， 船F F =； 船F A =所以，绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为θf e F F 船= （5）所以θf e F F =船人，其中θ为缆绳绕过木桩的角度。

（3）、将N F 500=人，kN F 20=船，f = 0.3代入式（5），得θ3.031020500e ⨯=解得 3.12≈θ rad 所以至少将缆绳绕两圈。

当πθ4=，考虑微段（图（1-b ））的伸长()θθθd e EAR F EA Rd F d f 船绕==∆ （6） 则环绕部分的缆绳伸长量)1(440-==∆=∆⎰⎰ππθθf f e EAfRF d e EA R F d 船船绕绕 （7） 代入已知数据计算的，mm 43.9=∆绕木桩至船段的缆绳伸长量 mm EAl F 7.610300101001020000692=⨯⨯⨯⨯==∆-船 （8）总变形量mm 13.162=∆+∆=∆绕二、一由钢板卷制的薄壁圆桶，高度为h ，在接头处存在一缝隙，在外力偶的作用下圆桶绕其轴线做旋转运动，内有一些边长为e 的轻质块体，当圆桶达到一定转速时，块体就从缝隙中滑出。

（1）试分析该薄壁圆桶在旋转时可能发生的变形和所涉及到的力学知识。

（2）取其圆环截面如图所示，质量为m ，平均半径为R ，横截面为矩形（t <<R ），材料的应力应变关系为εσB =，其中B 为常数。

设变形后平面假设仍然成立，当圆环绕圆心O 在其平面内从静止开始以匀角加速度转动时，问当角速度ω为多大时，块体滑出？ω题2图二、解：（1）、该薄壁圆桶在旋转时，薄壁在离心力的作用下发生弯曲变形。

关键词：惯性力，平面弯曲，能量法。

题（2-a ）（2）、由对称性知，取半个圆环为研究对象（如图（2-a ）所示），当转动角速度为ω时，由惯性离心力引起的圆环内截面ϕ的弯矩为()()()ϕπωθωπθϕθϕϕϕcos 122sin sin 22220-=-=-=⎰⎰R m d R R m R dF R M （1）变形后平面假设仍然成立，故有 ρεy=（2）设 2ty =时，1εε=于是 ⎰⎰==⎰⎰=tAdbB yhbdy dA y M 0232122εεερσσ （3）将ρε21t=代入上式，得 ()2222522cos 12501ϕπωρ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R m t B h （4） 由单位载荷法 ()θd x M l⎰=∆，其中 ()ϕcos 1-=R MρϕρθRd dsd ==（5）所以缝隙A 处的相对位移 ()5224263025224262125cos 14502t B h m R d t B h m Re πωϕϕπωδπ=-==⎰ （6） 所以解得 4265221252mR et B h πω= （7）三． 四叶玫瑰线你能一笔画出图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为θρ2cos a =。

请你进行分析计算和设计：（1）写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式； （2）利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。

题3图三、四叶玫瑰线解：（1）对于四叶玫瑰曲线θρ2cos a =，在直角坐标系中可写成（图3-1）⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x将θρ2cos a =代入上式，得 ⎩⎨⎧==θθθθsin 2cos cos 2cos a y a x （1）利用三角函数的积化和差公式 )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα-++=可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)sin 3(sin 2 )cos 3(cos 2 θθθθa y a x （2）图3-1 图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。

如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮1O 在固定内齿轮O 内作纯滚动，其中内齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r ，画笔所在E 点离小齿轮圆心1O 的距离为e 。

随系杆1OO 的转动，其E 点的轨迹为⎩⎨⎧--=+-=ϕθϕθsin sin )( cos cos )( e r R y e r R x EE 利用小齿轮的纯滚动条件)(θϕθ+=r R ，有θϕrrR -=，代入上式可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)sin(sin )( )cos(cos )( ϕθϕθr r R e r R y r r R e r R x E E 作变换，令βϑ3=，上式可改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)3sin(3sin )( )3cos(3cos )( ϕβϕβr r R e r R y r r R e r R x E E （3）对照式（2）和式（3）中的系数，有2a e =， 2a r R =-， 13=-rr R 联解之，得a R 2=， a r 23=， 2ae = （4） 做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出θρ2cos a =的四叶玫瑰曲线。

四． 手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小； （3）给出笔与手指间的摩擦因数μ随AC 长度x 变化应满足的条件。

手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为R 的圆柱，笔为一回转半径为ρ的细直杆（对质心C 转动惯量为2ρm ）。

设手指保持不动，开始时笔在距质心C 距离为ρ的A 处与手指相切，初角速度为o ω，设R πρ>，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。

题4图四． 手指转笔问题解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒，。

（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点A '（圆柱上的点），此时杆绕A '旋转的角速度为ω，质心C与A 距离为x 。

杆对A 的转动惯量为)(22x m J A +=ρ，依题意，A 为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得2o2221ωρωm J A = 故 222o222x+=ρωρω （1）设杆受压力N F 和摩擦力F ，如图4-1（a ）所示，n C a ，τC a 分别为质心加速度的径向和切向分量，α为杆转动的角加速度。

（a ） （b ） 图4-1A 和A '两点瞬时重合，A 相对于A '的加速度与A '相对于A 的加速度等值反向，而2ωR a A A ='，由A 指向O 。

故有2ωR a A A ='，由O 指向A ，且A 点的加速度无切向分量，而由基点法可知ττCA n CA A C n C C a a a a a a ++=+= （2）方向如图4-1b 所示，其中 2ωR a a n AA ==，ατx a CA =。

代入式（2）后，投影得 x R a C αωτ-=2， x a n C 2ω= （3）根据刚体平面运动微分方程，可列出⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=-===x F m F ma ma Fma ma N N C cy n C cx αρτ2 （4）联立求解式（3）和式（4），可得222o222x m x m F +==ρωρω （5）0)(22222o4>+==x R m ma F C N ρωρτ（6）（3）、分析摩擦因数μ应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数μ应满足)()(222x R x x F FN μρρμ=+=≥ （7） 因 θρR x -=，对[]πθ2 , 0∈，有[]ρ , 0∈x ，（R πρ>）。

则Rx ρρμμ2)()(max == 故 Rρμ2≥ 五． 小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心O 用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为o J 。

在圆盘上P 点有一个质量为m 的小虫，处于静止状态，如题5（a ）图所示。

小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。

请你分析计算。

（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）在1t 时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b ）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。

（2）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（c ）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。

（a ） （b ） （c ） 题5图 五、小虫爬行问题解答解：(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。

（2） 取小虫为动点，定参考系xyz O -，动参考系z y x O '''-固连在转盘上，与转盘一起转动。

根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O 的动量矩守恒。

设在1t时刻，v 为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），r v 为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为ω，r 为小虫相对于定参考系的位矢，r '为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度r v e '⨯=ω。

如图3、图4所示。

根据点的速度合成公式，有e r v v v +=r v r '⨯+=ω （1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有0o =⨯'+v r m J ω （2）在此问题中，r r '=，可以得到0)(o ='+⨯'+r v r m J r ω进一步有02o =⨯''++r v r r m J mω （3）设r 与r v 的夹角为θ~，则上式可以化为0 ~sin 2o =''++θωrv r r m J m（4） 所以，转盘转过的角位移为⎰'+'-=⎰=21212~sin t t r t t dt r m I v r m dt θωϕ （5） 将式中的dt v r 用小虫在动参考系中爬行的路程ds 表示，可得转盘转过的角位移为⎰'+'-=212~sin t t ds r m I r m θϕ （6） 若用极坐标描述（如图5），有)(θr r '=' 10θθ≤≤ （7）则式（6）可表示为⎰'+'-=21)()(2o 2t t d r m J r m θθθϕ （8） 从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。