概率论与数理统计初步综合练习
一．填空题
1设事件A 、B 、C , 则三个事件中至少有一个事件发生表示为 2. 设()3.0=A P ，()15.0=AB P ，且A 与B 相互独立，则()=⋃B A P ____________ 3. 设]5,1[~U X ，则X 落入[2，4]的概率为
4. 若).(~p n B X ，且 2=EX ， 2.1=DX ， =n
5. 已知()2=X E ，()
52=X E ，()=+12X D _____________。

6. 设1X ，2X ，……，n X 是总体()2
,σμN 的样本，X ，2
S
分别是样本平均值和样本方
差， 则
n
S X μ
-服从 分布 二．选择题
1. 将一枚硬币连掷三次, 至少出现一次正面的概率为 ( ) A.
21 B. 43 C. 87 D 3
2
2
)(x F 是分布函数，则)2
3(F = （ ）
A.0.1
B.0.3
C.0.6
D.1
3. 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立同分布, 且已知其边缘分布律为
{}{
}2111=-==-=Y P X P , {}{
}2
1
11====Y P X P 则 ==+)0(Y X P （ ） A. 21 B. 4
1
C.1 D .0
4. 如果X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有（ ）
A. Y X 与独立
B. Y X 与不相关
C. 0(=）
Y D D. 0)()(=Y D X D
5. 21,X X 为取自正态总体()2
,~σμN
X 的一个样本以下四个关于μ的无偏估计量中，方
差最小的是 （ ） A. 1X B.
()2121
X X +, C. 214341X X + D. 213
132X X + 6. 设总体X 服从正态分布，E(X)=2,E(X 2
)=8, X 1,X 2,…,X n 是X 的样本，1
1n
i i X X n ==∑,则X
的分布为（ ）
A. 4(2,)N n
B. (2,1)N
C. 2(,4)N n
D. 24(,)N n n
三．计算题1. 两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.05，第二台加工的
废品率为0.06，加工出来的零件放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工和由第二台加工的各占一半，从这批零件中任取一件。

求：（1）取到合格品的概率。

（2）取到的合格品是由第一台车床加工的概率。

设随机变量X 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧=0
)(2x k
x f 其他2
1<<x ，求：
（1）k ；（2）}3
4
54{
<<x P ；（3）)(X E 。

3. 设二维随机向量(X,Y)的联合分布为
求 （1）求X 与Y 的边缘分布。

（2）X 与Y 是否独立？ （3）求DY DX EY EX ,,, （4）求),cov(Y X （5）X 与Y 是否相关？
4. 某班一次数学考试成绩)10,70(~2
N X ，若规定低于60分为“不及格”，高于85分为“优秀”，
问：1）该班数学成绩“优秀”的学生占学生总数的百分之几？
2）该班数学成绩“不及格”的学生占学生总数的百分之几？ （其中
9332.0)2
3
(,8413.01=Φ=Φ）（
5. 设1X ，2X ……，n X 为总体的一个样本，n x x x ,,21 为一相应的样本值，总体的密度
函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其他
,010,1x x
x f θθ
其中0>θ， θ为未知参数。

1）求θ的矩估计值；
2）求θ的极大似然估计值。

四，证明题设总体)1,0(~N X ，），，，（4321X X X X 为 ，证明 )2(~X
X X X 24
23
21t ++
一填空
1.C B A ⋃⋃， 2。

0.65， 3， 0.5， 4， n=5, 5， 4； 6，t(n-1) 二选择
1,C ,2C, 3A , 4B, 5B, 6A 三计算
1,记产品取自第一车床加工为1A 事件；记产品取自第二车床加工为2A 事件；而取到合格品为B 时间
(1)则()()()()()
2211A B P A P A B P A P B P += 即 P （B ）=0.5x 0.95+0.5x0.94=0.945.
(2),()
()5026,0945
.095
.05.0)(11=⋅==B P B A P B A P
2,
12
21
2
1
2
==
-
=⎰
k
x k dx x k ，k=2, }3454{<<x P =2
1
22341
34
12=
-
=⎰x
dx x 3, P(X=0)=0.5; P(X=1)=0.5; P(Y=1)=0.4,P(Y=2)=0.4,P(Y=3)=0.2;
不独立，P(X=0) P(Y=1)=0.2≠P （X=0,Y=1）=0.1 EX=0.5，EY=1.8，DX=0.25，DY=0.56 Cov(X,Y)=-0.2,为相关的。

4.0668.0)2
3
(1)231070(
1)85(1)85(=Φ-=<--=<-=>X P X P X P
()()%87.15111)10
70
601070(
)60(=Φ-=-Φ=-<-=<X P X P 5(1)
1
)(1
1
1+=
===-∞
+∞
-⎰⎰θθθμμθdx x
x dx x xf
2
111⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=μμθ 替代,即可得 2
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=X X θ (2) ()()1212
21...,....,-=θθθn n
n x x x x x x L
()()n
x x x n
L ...ln 1ln 2
ln 2
1-+=
θθ 求导后得
∑==⋅+n
i i x n 1
0ln 212θθ
得 2
1
ln ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∑=n
i i L x n
θ
四证明
由)1,0(~N X i ，)2,0(~21N X X +，
)2(~
2
423χX X +
故
)2(~2
224
232
1t X X X X ++
说明：请同学认真复习，这只是练习卷，考试要求上课已说过了，以教材课本上习题为主，做过的作业请认真做一下。