概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。

2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。

3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。

4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。

5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。

6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。

（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P 2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。

（A ）μ=X E ； （B ）2σ=X D ；（C ）())1(~1222--n Sn χσ； （D ）())(~2212n Xni iχσμ∑=-。

三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。

任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。

设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=11100)(2x x Ax x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。

五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x e x f -=21)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。

六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-001)(22x x xex f xσσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。

七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。

（已知6041.4)4(995.0=t ）八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021 为来自总体)3.0,0(2N 的一个样本，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i X P 。

（987.15)10(29.0=χ） 概率试统计模拟一解答一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、0.6；2、2719； 3、34； 4、21； 5、)10(2n χ；6、)1(221--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、Ｄ； 2、Ｃ； 3、Ｂ； 4、Ｃ； 5、Ｂ三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案 （１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.041)(==B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0)()()()(≈=A PB A P B P A B P四、（本题满分12分）解：A A f F =⨯==+21)1()01(，而011)1lim()1()01(+→===+x f F ，1=A对)(x F 求导，得⎩⎨⎧≤≤=其它0102)(x x x f 五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX六、（本题满分13分）矩估计：X dx ex EX x ===-∞+⎰σσσσ,12202,极大似然估计：似然函数()n x ni x x x e x L ni i 212121,∑⎪⎭⎫ ⎝⎛==-σσσ,()02,ln 122=∑+-=∂∂=n i i i x n x L σσσσ， ∑==n i i x n 1221σ七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H 因2σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n SX t 0μ-=，今5=n ，252.3=x ，013.0=S ，01.0=α，=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为 ≥-=n sX t 0μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值6041.4344.05/013.025.3252.3<=-=t ，未落入拒绝域内，故在01.0=α下接受原假设。

八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2N X i ，故)10(~3.022101χ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i X概率统计模拟题二本试卷中可能用到的分位数：8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。

一、填空题（本题满分15分，每小题3分）1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P .2、设随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=21216.0113.01)(x x x x x F则随机变量X 的分布列为 。

3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则(1)P X Y +≤= 。

4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2(1),3P X ε-<≥则b = ,ε= 。

5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则∑=-ni i X 12)(μ服从 分布二、选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、设()0,P AB =则有（ ）。

(A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D) ()()P A B P A -=。

2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k P X k b k λ===且0b >，则λ为（ ）。

(A)11b +； (B) 11b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。

3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。

(A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。

4、对于给定的正数α，10<<α，设αu ，)(2n αχ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．．的是（ ） （A ）αα--=1u u ； （B ）)()(221n n ααχχ-=-；（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）),(1),(12211n n F n n F αα=-5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．总体期望μ的无偏估计量有（ ）。

(A)X ； (B)n X X X +++ 21； (C))46(1.021X X +⨯； (D)321X X X -+。

三、（本题满分12分）假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

四、（本题满分12分） 设随机变量X的分布密度函数为1()1x f x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩0, x试求： （1）常数A ； （2）X 落在11(,)22-内的概率； （3）X 的分布函数)(x F 。

五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。

六、（本题满分10100元，调换一台设备厂方需花费300七、（本题满分12分） 设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。

八、（本题满分12分）设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。

模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。

] 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、q p --1；2、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2n χ 注：第4小题每对一空给2分。

二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B 三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分(1) 由题意，该地区遭受水灾可表示为B A ，于是所求概率为： )()()()(AB P B P A P B A P -+= ……………………………2分 )/()()()(A B P A P B P A P ⋅-+=……………………………2分 27.03.01.02.01.0=⨯-+=…………………………………2分(2))()()/(B P AB P B A P =…1分 )()/()(B P A B P A P ⋅=………2分 15.02.03.01.0=⨯=………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 dx x f ⎰+∞∞-=)(1………………1分 dx xA ⎰--=1121……1分 πA x A =-=11arcsin …1分π1=∴A ………………………………………………………1分 (2)dx xX P ⎰--=<<-21212111}2121{π ……………………………………2分1arcsin 12121=-=xπ……………………………………2分(3)00)(1==-<⎰∞-xdx x F x ，时 ……………………………………………1分)2(arcsin 1111)(1112πππ+=-=≤≤-⎰-x dx x x F x x，时………………1分1111)(1112=-=>⎰-dx xx F x π，时………………………………………1分⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<=∴1111)2(arcsin 11)(x x x x x F X ππ的分布函数为………………1分 五、（本题满分12分）解： 24181616181=-=⇒=+a a …………………………………………………1分 43411141=-=⇒=+e e ……………………………………………………1分12181241414181=--=⇒=++b b a …………………………………………2分214814181=⋅=⇒⋅=f f ……………………………………………………2分83812181=-=⇒=+c f c …………………………………………………2分31412141=⋅=⇒⋅=g g b ……………………………………………………2分4112131=-=⇒=+d g d b …………………………………………………2分六、（本题满分10分）解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分 {}4114411P -∞-=⎰e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分{}4110414110---==≤<⎰e dx e X P x ……………………………………………2分 ()64.3312001004141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--e eE η………………………………………………2分 七、（本题满分12分）解：(1)由题意可知 λλ1);()(==⎰+∞∞-dx x f X E …………………………………2分令 11A m =，即X =λ1，…………………………………………………………2分可得X 1=λ，故λ的矩估计量为 X1ˆ=λ………………………………………2分 （2） 总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,);(x x e x f x λλλ……………………1分∴ 似然函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥=∏=-其它，00,,)(211n ni x x x x e L iλλλ，……………………………2分当),2,1(0n i x i =≥时，取对数得 ∑=-=ni i x n L 1ln )(ln λλλ，…………………1分令01)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ，得x1=λ………………………………………1分 ∴ λ的极大似然估计量为 X1ˆ=λ………………………………………………1分 八、（本题满分12分）解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分 因为方差未知，所以选取统计量 nS X T 0μ-=…………………………………2分 又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分 得统计量T 的观测值为 55.235.121821≈-=t ……………………………………2分 )8(975.0t t > ，即落入拒绝域内，……………………………………………2分∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。