28
∴流量 Q = v2 A2
=7×π×0.052 / 4=0.0137m3/s
由连续方程 v2 = v A = v ( D )2 4v
A2
d
解得水平管段：v =1.75m/s
确定测压管高度Δh：
以2-2断面为基准，建立3－3和2－2断面 的能量方程
29
H 3 Δh
3
h
0 22 0
z3=h=1m
E1=E2 +hw ， 即E1 > E2
——单位重量液体的总机械能
伯努利方程式表示单位重液体体所具有的位能、 压能及动能之和即总机械能沿程减小。不同断面的单 位重液体体总机械能差就是能量损失，伯努利方程式 是能量守衡定律在水力学中的应用，又称为能量方程。
请判断下列说法哪一个是正确的， 并说明为什么？
6.能量方程的主要应用： (a) 求解：平均流速，动水压强，
作用水头，水头损失，流向等
(b) 毕托管（流速仪） (c) 文丘里流量计 (d) 孔口出流，水泵与虹吸管 计算等
例2：输水圆管全管路 hw =3.5m。已知
H =5m，h =1m，D =0.1m，d =0.05m, 求
管中流量？若测压管到出口间的水头损失 hw’=0.2m，求测压管高度△h。
h
H
b
A1
M A2
[例]
7.能量方程的推广：
34
1）沿程有流量输入或输出的能量方程
（１）沿程有分流的：
q 1
q 2
q 3
q1 1
对断面1-2，1-3分别列
1
出伯努利方程式：
2 q2 32
3 q3
z
1
p1
2
α1 v1 2g
z2
p2
2
α2 v2 2g
hf12
2
2
z1
p1
α1 v1 2g
α2 v2 2g
hf12
q
3
z
3
p3
2
α3 v3 2g
hf13
q q q （2）沿程有汇流的：
同理，可得汇流的伯努利方程式：
1
2
3
q1
z1
p1
2
α1 v1 2g
h
f
13
q
2
z
2
p2
2
α2 v2 2g
h f 2 3
q1
1
q
3
z3
p3
2
α3 v3 2g
3
1 2
q2
2
q3
3
2）沿程有能量输入或输出能量方程
水库水位
恒定
D
H Δh
h
d
26
1
1
H Δh
h 0 22 0
v1=0 p1=p2=0
27
解: 以2-2断面为基准，建立1-1和2-2断面
的能量方程
z1
p
γ
1
v2
11
2g
z2
p2
γ
2
2v g
2 2
hw
式中：hw=3.5m, z2=0, z1=5+1=6m
则：6 0 0
00
v2 2
3.5
2g
解得： v 2=7m/s
测压管水头线不一定是下降的曲线，需 要由位能与压能的相互转换情况来确定其 形状，即它可升可降。
对于均匀流，流速水头沿程不变，总水 头线与测压管水头是相互平行的直线。
15
2）物理意义
Z ：表示单位重量液体的位能。 p/γ ：表示单位重量液体的压能。 V2/2g：表示单位重量液体的动能。
E= Z+p/γ+v2/2g
4.应用注意事项：
2) 选计算断面：满足渐变流断面 条件；
应使所选断面上未知量尽量少,以 简化能量方程的求解过程。
20
4.应用注意事项：
3) 选择代表点：确定断面测压
管水头
z
p
γ
对于管流，计算点取在管轴线上；
对明渠水流,计算点取在自由表面上。
21
4.应用注意事项：
⑵ 关于动水压强： 计算压强水头时，两个断面的
结束
40
常见过流断面的湿周、水力半径和当量直径的计算式
过流断面
2r
r
R
2
de
2r
a
a
d hc b b
r
d b c 2a b
r
a bh
ab
2
2d b c 2a b
2a bh
2ab
2r
d b c a b
压强标准要相同。 ⑶ 动能修正系数α：
一般可以取α1=α2= 1.0 计算。
22
4.应用注意事项：
⑷ 注意水头损失hw的取舍。 ⑸ 当一个问题中有2-3个未知数的时 候,能量方程需要和连续方程、动量 方程组成方程组联合求解。
⑹ 列方程时，不遗漏物理量。
23
5.能量方程的特点：
没有涉及边界对水流的作用力。 是一个动力学方程。
2.总流伯努利方程的意义
1）几何意义
Z ，p/γ ，v2/2g量纲都是长度，表示一定的高度，可 以用比例线段表示。
Z ：表示流体质点相对基准面的几何高度，称为位置水头。 p/γ：表示质点压力大小的液柱高度，称为压强水头。 v2/2g：表示断面平均流速大小的高度，称为速度水头。
Ｈ0= Z+p/γ+v2/2g —— 总水头
z3
p3
α3 v3 2g
hf13
z1
p1
2
α1 v1 2g
z2
p2
2
α2 v2 2g
hf12
2
2
z1
p1
α1 v1 2g
z
3
p3
α3 v3 2g
hf13
将上面方程1乘以gq 2，方程2乘以 gq 3，相加得分流的伯努利方程式
q1
z1
p1
2
α1 v1 2g
q
2
z
2
p2
2
渐变流 断面
推导中，产生三类积分：
• （1） ∫Q(z+ p/γ)γdQ • （2） ∫Q(u12/2g )γdQ • （3） ∫Q(hw’ )γdQ
1.方程的建立：
势能＋动能＝总能量
αv2 2g
—— 单位动能
7
实际不可压缩恒定总流的能量方程：
z1
p1
α1v12 2g
z
2
p2
α2
v
2 2
2g
第三章
液体运动的基本方程
§3-4 恒定总流连续性方程 （continue equation）
1 2
A1v1=A2v2
质量守恒定律
m1 = m2
Q1= Q2
v2 v1
=
A1 A2
2
推广： ∑Q流入=∑Q流出
沿程有汇流的连续方程式：
Q1+Q2=Q3 ， v1A1+v2A2=v3A3
Q1
1
3
1 2
Q3
z2=0, v2=4v3
30
z3
p
γ
3
v2
33
2g
z2
p2
γ
2
2v g
2 2
hw´
h´w=0.2m，z3=1m，v3=v=1.75m/s
则： 1
p3
γ
v2 2g
＝0＋0＋
v2 2
2g
+ 0.2
p 3
γ
=
Δh
=15
v2 2g
-1+0.2=1.54m
31
图示为一抽水装置,利用喷射水流在喉道断面 造成的负压,可以将容器M中的积水抽出.已知 H,b,h,如不计水头损失,当喉道断面面积A1与喷嘴 出口断面面积A2之间满足什么条件才能使抽水装 置开始工作？（假设h，b恒定不变）
（1）水总是从高处向低处流；
（2）水总是从压强大的地方向压强小的地 方流；
（3）水总是从流速大的地方向流速小的地 方流动。
（4）水总是从总水头大的地方向总水头小 的方向流动。
3.总流能量方程式的应用条件：
不可压缩的、均质的、恒定流动；
质量力只有重力；
所取断面应是渐变流断面，但在其间可不 必要求是渐变流；
hw
hw---单位重液体的沿程能量损失
——恒定总流的伯努利方程
用平均速度表达单位时间内通过过流 断面的流体动能时，需要乘以动能修正系 数才是动能的真实值。
引入动能修正系数α：
1 v3 A
A
u
3
dA
1

对渐变流断面，
α=1.05～1.1
u3dA v3dA
A
A
一般计算近似可 取:α1=α2=1.0
Q2
2
3
3
连续性方程是一个运动学方程， 它没有涉及作用力的关系，通常应 用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积和断面平均流速或者已知 流速求流量，它是水力学中三个最 基本的方程之一。
4
§3-5 恒定总流的能量方程
研究思路:
动能定理或牛顿第二定律
元流能量方程 → 积分 →总流能量方程
→
渐变流 断面
两断面间如装有泵、风机、水轮机等装置，流 体流经这些装置就会有能量交换。
两断面间如有能量交 换，则总流伯努利方 程式为：
2
2
z1
p1
αv1 2g
HP
z2
p2
αv2 2g
hw12
HP—水流获得能量为正，失去能量为负。
水泵： ＋HP= ηp Pp/(γQ) （功率）